จะพิสูจน์คำพูดนี้ในทฤษฎีเซตได้อย่างไร?

Question

ฉันต้องการที่จะพิสูจน์ว่า $((A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)) \iff (C \subset A)$

ขณะพิสูจน์ฉันพยายามใช้การแจกแจงและตัดกันทั้งสองข้างของชุดสมการด้านซ้าย $\bar{B}$. มันใช้ได้กับ$\Rightarrow$แต่ไม่แน่ใจสำหรับ $\Leftarrow$

จะเป็นการดีหากได้รับคำใบ้อย่างน้อย 1 ครั้งหากจิตใจของฉันไม่ถูกต้อง ขอบคุณในคำแนะนำ

Answer 1

1. สมมติ $((A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C))$ ถือและปล่อยให้ $x \in C$. แล้ว$x \in (A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)$ ดังนั้น $x\in A$.

2. ถ้า $C \subset A$แล้ว $A\cap C=C$ ดังนั้น $$ A \cap (B \cup C)= (A \cap B) \cup (A \cap C) = (A \cap B) \cup C = $$

Answer 2

“$\Rightarrow$” $((A\cap B)\cup C)=(A\cup C)\cap (B\cup C)$ $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C$. ดังนั้น$A\cup C=A$และเราได้ C อยู่ใน A“$\Leftarrow$”. ถ้า$C$ อยู่ใน $A$แล้ว $((A\cap B)\cup C)=(A\cup C)\cap (B\cup C)=A\cap(B\cup C)$และเสร็จสิ้นทั้งหมด

Answer 3

$ \Leftarrow $ง่ายยิ่งขึ้น แสดงว่าถ้า$ x \in LHS $ แล้ว $ x \in RHS $และในทางกลับกัน. โดยใช้ความจริงที่ว่า$ C \subset A $ไม่มีหลายกรณีที่ต้องพิจารณา