จำนวนกำลังสองระหว่างจำนวนธรรมชาติสองจำนวน

Question

ระบุตัวเลขธรรมชาติ $m>n\in \mathbb{N}$ จำนวนกำลังสองระหว่าง $m$ และ $n$เหรอ? คือจำนวนธรรมชาติ$k\in \mathbb{N}$ พึงพอใจ $n \leq k^2\leq m$เหรอ?

ผมคิดว่าถ้าเรารู้จักจัตุรัสที่ใหญ่ที่สุด $k^2=s\leq m$ และสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เล็กที่สุด $\tilde k^2=\tilde{s}\geq n$แล้วจำนวนกำลังสองที่ฉันกำลังมองหาจะเป็น $k-\tilde{k}+1$แต่มีวิธีง่ายๆในการค้นหาสี่เหลี่ยมเหล่านี้หรือไม่? ฉันจะโอเคกับขอบเขตซึ่งเป็นหน้าที่ของขนาด$m-n$.

Answer 1

จำนวนกำลังสองระหว่างจำนวนธรรมชาติสองจำนวน $m$ และ $n$ = $\begin{align} \lfloor \sqrt{m} \rfloor - \lceil \sqrt{n} \rceil + 1\end{align}$.

หลักฐาน:ให้$\begin{equation} n \leq a^2 \leq k^2 \leq (a+s)^2 \leq m \end{equation}$ ที่ไหน $a$ คือจำนวนธรรมชาติที่เล็กที่สุดที่มีกำลังสองมากกว่าหรือเท่ากับ $n$ และ $a+s$ เป็นจำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดซึ่งมีกำลังสองน้อยกว่าหรือเท่ากับม.

ตอนนี้จากการสังเกตง่ายๆ $\begin{equation} a = \lceil \sqrt{n} \rceil \end{equation}$ และ $\begin{equation} a+s = \lfloor \sqrt{m} \rfloor \end{equation}$ และจำนวนกำลังสองระหว่างจำนวนธรรมชาติทั้งสองคือ $s+1$.