จำนวนปมเกลียวเป็นค่าคงที่หรือไม่?
คำถาม: จำนวนส่วนประกอบในการผูกปมขึ้นอยู่กับการฝังระนาบโดยเฉพาะหรือไม่?
ฉันได้ตรวจสอบวิธีคำนวณจำนวนส่วนประกอบ ("เส้นแยก") ในปมเซลติกโดยอาศัยโครงสร้างกราฟระนาบที่อยู่เบื้องหลัง (ดูความสัมพันธ์ระหว่างนอต / ลิงค์และกราฟระนาบที่นี่ )
เห็นได้ชัดว่าการคำนวณสำหรับกราฟทั่วไปมีความซับซ้อนเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นการอ้างอิงในคำถามนี้ชี้ให้เห็นว่าสำหรับเครื่องแบบ$m\times n$ ตารางสี่เหลี่ยมจำนวนส่วนประกอบคือ $\mathrm{lcd}(m,n)$.
มันทำให้ฉันพอใจที่จะหาสูตรคำนวณจำนวนส่วนประกอบ ("เส้น") หรือความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเส้นและค่าความเหมาะสมของกราฟต่างๆเช่นระดับสเปกตรัม ฯลฯ แม้ว่าคุณสมบัติเหล่านั้นจะคำนวณได้ยากก็ตาม .
แนวทางหนึ่งที่ฉันใช้คือในแง่ของส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน: แต่ละเส้นที่แยกจากกันเป็นไปตามวิถีเฉพาะและส่วนประกอบที่เชื่อมต่อของวิถีเหล่านั้นสอดคล้องกับเส้น คุณสามารถกำหนดวิถีเป็นการแม็ปฟังก์ชันการเปลี่ยนแปลง (โครงสร้างเพิ่มเติมบางส่วนบวก) แต่ละขอบไปยังตัวต่อ นี่คือการเปลี่ยนแปลงบนขอบ (ที่มีโครงสร้าง) ซึ่งมีวัฏจักรเป็นส่วนประกอบ
ฟังก์ชันการเปลี่ยนแปลงสามารถเข้ารหัสเป็นกราฟที่ได้รับมาเป็นของตัวเอง (คล้ายกับแผนที่ที่เข้ารหัสด้วยกราฟ ) ซึ่งส่วนประกอบที่เชื่อมต่อเป็นส่วนประกอบของการผูกปม จากพีชคณิตเชิงเส้นเรารู้ว่าจำนวนส่วนประกอบที่เชื่อมต่อสามารถกู้คืนได้เป็นความหลายหลากของค่าลักษณะเฉพาะที่เป็นศูนย์ของ Laplacian ของเมทริกซ์ adjacency
อย่างไรก็ตามฉันรู้ว่ากราฟเดียวกัน $G$สามารถมีการฝังระนาบที่ไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิกได้หลายแบบ (กล่าวคือคู่ที่ไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิก) จากประสบการณ์ของฉันสิ่งนี้ได้เปลี่ยนคุณสมบัติบางอย่างของการผูกปม (เช่นจำนวนการบิดในแต่ละองค์ประกอบ) แต่ไม่ใช่จำนวนส่วนประกอบ:
คำถามของฉันคือ:
คำถาม:จำนวนส่วนประกอบในการผูกปมขึ้นอยู่กับการฝังระนาบโดยเฉพาะหรือไม่? เราจะพิสูจน์ได้อย่างไร?
สัญชาตญาณของฉันบอกว่าจำนวนส่วนประกอบไม่แปรผัน แต่ฉันไม่สามารถสร้างตัวอย่างตอบโต้หรือการพิสูจน์โดยใช้แนวทางของฉันข้างต้นได้
การคาดเดา: ถ้า $G$ เป็นกราฟจากนั้นการผูกปมที่เกี่ยวข้องมี $c$ ส่วนประกอบที่ไหน
$$T_G(-1,-1) = (-1)^{|E(G)|}\cdot (-2)^{c - 1}$$
และ $T_G$ คือพหุนาม Tutte และ $|E(G)|$คือจำนวนขอบในกราฟ (?)
คำตอบ
ปล่อย $D$เป็นแผนผังของลิงค์ ตัวอย่างเช่น,$D$อาจเป็นแผนภาพของปมเซลติกหรือลิงก์ที่แสดงในโพสต์ของคุณ ปล่อย$G$ เป็นกราฟกระดานหมากรุกของ $D$. กราฟ$G$ คือกราฟที่อธิบายไว้ในสัญลักษณ์แสดงหัวข้อย่อยแรกของคุณ
คำตอบ:จำนวนส่วนประกอบของ$D$ ถูกกำหนดโดยกราฟนามธรรม $G$ และไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการ $G$ ฝังอยู่ในเครื่องบิน
สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดย Michel Las Vergnas ในปี 1979 เขาแสดงให้เห็นว่าจำนวนส่วนประกอบของ $D$ ถูกกำหนดโดยการประเมินพหุนาม Tutte $T_G(-1,-1)$. เนื่องจากพหุนาม Tutte ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการฝังเฉพาะของ$G$ผลลัพธ์เป็นดังนี้ เอกสารอ้างอิงสำหรับบทความนี้คือ
- ลาสแวร์นาสมิเชล บนพาร์ติชัน Eulerian กราฟ ทฤษฎีกราฟและคอมบิเนเตอร์ (Proc. Conf., Open Univ., Milton Keynes, 1978), หน้า 62–75, Res. Notes in Math., 34, Pitman, Boston, Mass. -London, 1979
ฉันไม่สามารถค้นหาสำเนาของกระดาษด้านบนได้อย่างง่ายดายดังนั้นนี่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการหาวิธีแก้ปัญหาเนื่องจาก Dan Silver และ Susan Williams ( ลิงก์ arXiv ) พวกเขากำหนดเมทริกซ์$Q_2(G)$ ซึ่งมีรายการอยู่ในฟิลด์ที่มีสององค์ประกอบ $\mathbb{F}_2$ดังต่อไปนี้. ทั้งแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ถูกจัดทำดัชนีโดยจุดยอด$v_1,\dots,v_n$ ของ $G$. ถ้า$i\neq j$แล้ว $ij$ รายการของ $Q_2(G)$ คือจำนวนขอบระหว่างจุดยอด $v_i$ และ $v_j$ (ถ่าย$\mod 2$). $ii$ รายการของ $Q_2(G)$ คือผลรวมของรายการอื่น ๆ ในแถว $i$ (ถ่ายอีกแล้ว$\mod 2$). ในทำนองเดียวกันเราสามารถพูดได้ว่า$ii$ การเข้า $Q_2(G)$ คือผลรวมของรายการอื่น ๆ ในคอลัมน์ $i$.
ใน Theorem 1.1 ของกระดาษที่เชื่อมโยงพวกเขาพิสูจน์ว่าจำนวนส่วนประกอบของ $D$ เท่ากับค่าว่างของ $Q_2(G)$. หมายเหตุในหมายเหตุข้อ 1.2 หมายถึงจำนวนส่วนประกอบของ$D$ ไม่ขึ้นอยู่กับการฝังระนาบของ $G$.
แก้ไข:ฉันไม่สามารถเข้าถึงเอกสาร Las Vergnas ได้ แต่ฉันสามารถให้คำอธิบายอื่นเกี่ยวกับผลลัพธ์โดยใช้พหุนาม Tutte และพหุนาม Jones
ปล่อย $L$ เป็นลิงค์สำรองให้ $D$ เป็นแผนภาพสลับของลิงค์และปล่อยให้ $G$ เป็นกราฟกระดานหมากรุกของ $D$. จากนั้นพหุนาม Tutte$T_G(x,y)$ ของ $G$ และพหุนามของโจนส์ $V_L(t)$ ของ $L$ มีความเกี่ยวข้องดังนี้: $$V_L(t) = f_D(t) T_G(-t,-t^{-1})$$ สำหรับฟังก์ชั่น $f_D(T)$ ที่กำหนดโดย $$f_D(t) = (-1)^{w(D)}t^{\frac{1}{4}(|E| - 2(|V|-1)+3w(D))}$$ ที่ไหน $w(D)$ เป็นคำสั่งของ $D$, $|E|$ คือจำนวนขอบใน $G$และ $|V|$ คือจำนวนจุดยอดของ $D$. สังเกตว่า$|f_D(1)|=1$และด้วยเหตุนี้ $|V_L(1)| = |T_G(-1,-1)|$.
พหุนามของโจนส์ตอบสนองความสัมพันธ์ของความคลางแคลง $$(t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}})V_{L_0}(t) = t^{-1}V_{L_+}(t) - tV_{L_-}(t)$$ ที่ไหน $L_+,L_-,$ และ $L_0$ มีดังต่อไปนี้
การตั้งค่า $t=1$ ในความสัมพันธ์ความคลางแคลงข้างต้นให้ผลตอบแทน $V_{L_+}(1)=V_{L_-}(1)$. กล่าวอีกนัยหนึ่งคือพหุนามของโจนส์ประเมินที่$t=1$ ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนแปลงข้ามและดังนั้น $V_L(1)=V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(1)$ ที่ไหน $\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$ คือลิงค์เล็กน้อยที่มีส่วนประกอบจำนวนเดียวกับ $L$. พหุนามโจนส์ของ$\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$ คือ $V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(t) = (-t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}})^{m-1}$ ที่ไหน $m$ คือจำนวนส่วนประกอบของ $\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$. ด้วยประการฉะนี้$$|T_G(-1,-1)|=|V_L(1)|=|V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(1)| = 2^{m-1}.$$
กรณีข้างต้นจะจัดการเมื่อ $L$กำลังสลับกัน ถ้า$L$ไม่ใช่การสลับจากนั้นดำเนินการดังนี้ ปล่อย$D$ เป็นแผนภาพใดก็ได้ $L$. กำหนด$D_{\text{alt}}$ เป็นแผนภาพที่มีเงาเดียวกับ $D$ แต่มีการเปลี่ยนการข้ามเป็นแบบสลับและกำหนด $L_{\text{alt}}$ เป็นลิงค์ที่มีไดอะแกรม $D_{\text{alt}}$. โปรดทราบว่า$D$ และ $D_{\text{alt}}$ มีกราฟกระดานหมากรุกเดียวกัน $G$. อาร์กิวเมนต์ข้างต้นเป็นนัยว่า$|T_G(-1,-1)|=2^{m-1}$ ที่ไหน $m$ คือจำนวนส่วนประกอบของ $L_{\text{alt}}$. ตั้งแต่$L_{\text{alt}}$ และ $L$ มีส่วนประกอบจำนวนเท่ากันผลลัพธ์ตามมาสำหรับ $L$ เช่นกัน.