จำนวนนับของกลุ่ม abelian - ความวิจิตรที่เหลือและองค์ประกอบของการสั่งซื้อ $p$

Question

สมมติ $A$ เป็นกลุ่มอาเบเลียนและ $\pi$คือชุดของจำนวนเฉพาะ ก$\pi$-number เป็นผลคูณระหว่าง $\pi$.

สมมติว่าสำหรับแต่ละ $p \in \pi$, $A_p = \{a \in A : \exists i\in\mathbb{N} \text{ s.t } a^{p^i} = 0\}$ มีเลขชี้กำลัง จำกัด

สมมติว่า $A$ คือ $\pi$-ที่ลดลง; ไม่มีกลุ่มย่อยที่ไม่สำคัญของ$A$ ซึ่ง ได้แก่ $\pi$- แบ่งได้ นั่นคือสำหรับใด ๆ$H \leq A$ มี $h \in H$ และ $m$ ก $\pi$- จำนวนดังกล่าวสำหรับใด ๆ $x \in H$, $x^m \neq h$.

ปล่อย $j \in \mathbb{N}$, $p \in \pi$ และ $m = p^jn$ ก $\pi$- หมายเลขที่ไหน $n$ ค่อนข้างสำคัญกับ $p$.

1. ทำไม $A/A^m$ เหลือ จำกัด ?

2. ทำไม $A^{p^j}/A^m$ ไม่มีองค์ประกอบของคำสั่ง $p$เหรอ?

นี่คือบริบทจาก Infinite Soluble Groups:

Answer 1

$A/A^m$ เป็นกลุ่มเลขชี้กำลัง จำกัด (โดยเฉพาะการหารเลขชี้กำลัง $m$) และทุกกลุ่มของเลขชี้กำลัง จำกัด ของเอเบเลียนเป็นผลรวมโดยตรงของกลุ่มวัฏจักรและโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เหลือ จำกัด ดูตัวอย่างคำตอบที่คริสต์กลุ่มที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่องค์ประกอบทั้งหมดมีคำสั่งที่ 1, 2 หรือ 4

เนื่องจากทุกองค์ประกอบ $a\in A/A^m$ พอใจ $a^m=1$, ทุกๆ $p^j$พลัง $a^{p^j}$ พอใจ $(a^{p^j})^n=1$. ดังนั้นคำสั่งของ$a^{p^j}$ หาร $n$และเป็นเช่นนั้นไม่ได้ $p$. นั่นคือ,$A^{p^j}/A^m$ ไม่มีองค์ประกอบของการสั่งซื้อ $p$.