$\cap_{n=1}^{\infty}A_n$ และอินฟินิตี้
หนึ่งคำถาม:
- ถ้านิยามของ $\cap_{n=1}^{\infty}A_n=\{x\in A_i\forall n\in N\}$ และมันไม่ว่างเปล่าหมายความว่าองค์ประกอบของมันเป็นของจุดตัดที่ไม่มีที่สิ้นสุดของ $A_n$ หรือจุดตัดใด ๆ ของ $A_n$ สำหรับตัวเลขธรรมชาติทั้งหมด?
เพื่ออธิบายเพิ่มเติมฉันต้องการแสดงให้เห็นว่าฉันรู้สึกอย่างไรต่อสัญกรณ์ที่สับสนนี้ $\cap_{n=1}^{\infty}A_n$.
การทำความเข้าใจการวิเคราะห์ Steven Abbott
ตัวอย่าง 1.2.2 ที่กำหนด $A_i = \{x\in N: x\geq i\}$. โดยการเหนี่ยวนำจะไม่ว่างเปล่าสำหรับจุดตัดไฟแต่ละจุด แต่การพิสูจน์โดยความขัดแย้งสามารถแสดงให้เห็นว่าเมื่อพูดถึงกรณีที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งใช้สัญกรณ์$\cap_{n=1}^{\infty}A_i$มันเป็นเซตว่าง กล่าวอีกนัยหนึ่งในตัวอย่างนี้สัญกรณ์นี้ใช้สำหรับจุดตัดที่ไม่มีที่สิ้นสุด
ทฤษฎีบท 1.4.1 ซึ่งพิสูจน์คุณสมบัติช่วงเวลาที่ซ้อนกัน $I_n = \{x\in R: a_n\leq x\leq b_n\}$. ในที่นี้ไม่ได้ระบุว่านี่คือจุดตัดที่ไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่ แต่มันกลับพูดว่า$\exists x\forall n\in N x\in I_n$. ดังนั้นที่$x\in\cap_{n=1}^{\infty}A_n$. กล่าวอีกนัยหนึ่งในตัวอย่างนี้สัญกรณ์นี้ใช้สำหรับจำนวนธรรมชาติที่ จำกัด ทุกตัว
ทฤษฎีบท 1.5.8 กล่าวว่าถ้า$A_n$ เป็นชุดที่นับได้สำหรับแต่ละชุด $n\in N$แล้ว $\cup_{n=1}^{\infty}A_n$นับได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งในตัวอย่างนี้สัญกรณ์นี้ใช้สำหรับจุดตัดที่ไม่มีที่สิ้นสุด
ฉันสับสนกับสัญกรณ์นี้ในแง่ที่สัญกรณ์มีเครื่องหมายอินฟินิตี้ แต่นิยามหมายถึงจำนวนธรรมชาติทุกตัว ดังนั้นเมื่อใดก็ตามที่ฉันเห็นฉันก็ไม่รู้ว่าจะสมัครอันไหนดี
พูดว่าฉันไปตามทิศทางที่มันใช้ได้หรือไม่ $\forall n\in N$จากนั้นการเหนี่ยวนำควรทำงานได้เนื่องจากการเหนี่ยวนำกำลังทำสิ่งเดียวกันทุกประการ! แม้ว่าการโพสต์นี้แสดงให้เห็นเป็นอย่างอื่นโดยกล่าวว่าสัญกรณ์เป็นเรื่องเกี่ยวกับอินฟินิตี้
ดีฉันเปลี่ยนทิศทางซึ่งเกี่ยวกับจุดตัดที่ไม่มีที่สิ้นสุด แต่ในบางกรณีตัวอย่างที่ฉันระบุไว้ข้างต้นอย่างไรก็ตามหากมีบางอย่างใช้ได้กับจำนวนธรรมชาติทั้งหมดก็เป็นส่วนหนึ่งของสัญกรณ์นี้ได้ดี
ดังนั้นในระยะสั้นฉันรู้สึกว่าสัญกรณ์นี้มี 2 ความหมายที่ขัดแย้งกัน
- $\forall n\in N$
- อินฟินิตี้
ฉันได้ทำการค้นคว้าและถามคำถามมาก่อนแล้วแต่ยังไม่เข้าใจ ดังนั้นฉันเดาว่าฉันมีบางอย่างผิดพลาดและสับสนในบางคำจำกัดความ
คำตอบ
$\bigcap_{n=1}^\infty A_n$เป็นชุด ชุดอะไร? ชุดของทุกสิ่งที่เป็นของทุกชุด$A_n$ สำหรับ $n\in\Bbb Z^+$. ปล่อย$\mathscr{A}=\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$; แล้ว$\bigcap\mathscr{A}$ หมายถึงสิ่งเดียวกันทุกประการ $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ เป็นเพียงสัญกรณ์ธรรมดาที่มีความหมายไม่มากหรือน้อยกว่า $\bigcap_{n\ge 1}A_n$, $\bigcap\mathscr{A}$และ $\bigcap\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$. ไม่มี$A_\infty$: ที่ $\infty$ เป็นเพียงสัญญาณบ่งชี้ว่าดัชนี $n$ คือการถือว่าค่าจำนวนเต็มบวกทั้งหมด
สมมติว่าสำหรับจำนวนจริงบวกแต่ละตัว $x$ ฉันปล่อยให้ $I_x$ เป็นช่วงเปิด $(-x,x)$. แล้ว$\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x$คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่เป็นของทุกช่วงเวลาที่เปิดอยู่เหล่านี้ ถ้า$\mathscr{I}=\{I_x:x\in\Bbb R^+\}$แล้ว
$$\bigcap\mathscr{I}=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}(-x,x)=\{0\}\,.$$
ฉันจะรู้ได้อย่างไร? ถ้า$y\in\Bbb R\setminus\{0\}$แล้ว $y\notin(-|y|,|y|)=I_{|y|}$ดังนั้นจึงมีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งคนของ $\mathscr{I}$ ที่ไม่มี $y$และตามความหมาย $y$ ไม่ได้อยู่ในจุดตัดของฉากในครอบครัว $\mathscr{I}$. ในทางกลับกัน,$0\in(-x,x)=I_x$ สำหรับทุกๆ $x\in\Bbb R^+$ดังนั้น $0$ อยู่สี่แยก$\bigcap\mathscr{I}$.
ในทั้งสองกรณีเราไม่ได้ใช้การเหนี่ยวนำที่ใดเลย ในกรณีของชุด$A_n$ เราอาจจะใช้การเหนี่ยวนำได้ $n$ เพื่อแสดงว่าแต่ละชุด $A_n$ มีทรัพย์สินบางส่วน $P$แต่เราไม่สามารถขยายการเหนี่ยวนำนั้นเพื่อแสดงสิ่งนั้นได้ $\bigcap\mathscr{A}$ มี $P$. เราอาจใช้ความจริงที่ว่า$A_n$ มีทรัพย์สิน $P$ เพื่อแสดงว่า $\bigcap\mathscr{A}$ ยังมี $P$แต่นั่นจะต้องมีการโต้แย้งแยกกัน มันจะไม่เป็นส่วนหนึ่งของการชักนำ อาร์กิวเมนต์เหนี่ยวนำในกรณีนั้นจะพิสูจน์ได้ว่า
$$\forall n\in\Bbb Z^+(A_n\text{ has property }P)\,;$$
จากนั้นอาร์กิวเมนต์แยกต่างหากจะแสดงโดยใช้ผลลัพธ์นั้นและข้อเท็จจริงอื่น ๆ ว่าชุดเดียว $\bigcap\mathscr{A}$ มีทรัพย์สิน $P$. เรียกชุดนี้ก็ได้$A_\infty$หากคุณต้องการทำเช่นนั้น แต่นั่นจะเป็นเพียงป้ายกำกับ คุณสามารถเรียกมันได้อย่างเท่าเทียมกัน$A$, หรือ $X$, หรือแม้กระทั่ง $A_{-1}$แม้ว่าฉันจะนึกไม่ออกว่าทำไมคุณถึงต้องการใช้ป้ายกำกับสุดท้ายนั้น
ในกรณีของชุด $I_x$ ไม่มีความเป็นไปได้ที่จะใช้การเหนี่ยวนำเพื่อแสดงให้เห็นว่า $I_x$ มีคุณสมบัติบางอย่าง: ชุดเหล่านี้ไม่สามารถระบุเป็น $I_1,I_2,I_3$และอื่น ๆ เนื่องจากมีจำนวนมากอย่างนับไม่ถ้วน เรายังสามารถพิสูจน์สิ่งต่างๆเกี่ยวกับชุดได้$\bigcap\mathscr{I}$อย่างไรก็ตาม และเราสามารถให้ฉลากที่สะดวกได้$\bigcap\mathscr{I}$เป็นข้อมูล แต่อาจไม่สะดวกเล็กน้อย ฉันอาจเลือกที่จะให้ฉลากที่สะดวกกว่า$I$.
ในกรณีของ $\mathscr{A}$ เกิดขึ้นเป็นสัญกรณ์ที่ใช้สัญลักษณ์ $\infty$แต่นั่นเป็นเพียงผลพวงของความจริงที่ว่าเซต $A_n$ถูกสร้างดัชนีโดยจำนวนเต็ม เรากำลังทำสิ่งเดียวกันกับในตัวอย่าง$\mathscr{I}$แต่ในกรณีนั้นไม่มีความเป็นไปได้ที่จะใช้ขีด จำกัด ของ $\infty$ บนทางแยกเนื่องจากไม่มีวิธีจัดทำดัชนีชุดจำนวนมากนับไม่ถ้วน $I_x$ โดยจำนวนเต็ม