ใช้ฟังก์ชันการสร้างเพื่อแก้ปัญหาความสัมพันธ์การเกิดซ้ำที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน
ปล่อย $a_0=0, a_1=2,$ และ $a_2=5$. ใช้ฟังก์ชันการสร้างเพื่อแก้สมการการเกิดซ้ำ:$$a_{n+3} = 5a_{n+2} - 7a_{n+1}+3a_n + 2^n$$ สำหรับ $n\geq0$.
นี่คือโจทย์หนังสือจาก Applied Combinatorics ฉันสับสนจริงๆเกี่ยวกับการแก้ปัญหา$2^n$ ส่วนหนึ่งของความสัมพันธ์การเกิดซ้ำโดยใช้ฟังก์ชันการสร้าง
แก้ไข:
ฉันรู้ว่าฉันต้องแปลงการเกิดซ้ำเป็นอนุกรมและฉันได้แยกมันออก แต่ฉันกำลังดิ้นรนเพื่อทำให้มันอยู่ในรูปแบบที่เหมาะสมเพื่อทำเศษส่วนบางส่วน นี่คือสมการที่ฉันได้รับ
ถ้าเราปล่อยให้ $A(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ เป็นฟังก์ชันสร้างสำหรับ $a_n$ หลังจากการคำนวณฉันได้รับ:
$$A(x)\cdot(1-5x+7x^2-3x^3)= 12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}$$
หลังจากทำให้ง่ายขึ้น: $$A(x) = \frac{12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}}{1-5x+7x^2-3x^3}$$ $$= \frac{24 x^4 - 30 x^3 + 9 x^2 - 2 x}{(1-2x)(x-1)^2(3x-1)}$$
จากนั้นการสลายตัวของเศษส่วนบางส่วนคือ: $$A(x) = -\frac{8}{1-2x} + \frac{13}{4}\frac{1}{1-3x} + \frac{37}{4}\frac{1}{1-x} - \frac{1}{2} \frac{1}{(1-x)^2} - 4$$
ฉันได้ลองเสียบค่าต่างๆแล้ว แต่มีบางอย่างไม่ถูกต้อง โปรดแจ้งให้เราทราบว่าฉันผิดพลาดตรงไหน
คำตอบ
คุณทำผิดพลาดที่ไหนสักแห่งในการสร้างฟังก์ชันที่ได้มา (ยากที่จะบอกว่าคุณไม่ได้รวมส่วนนี้ไว้ที่ไหน) ฉันมี
\begin{align} A(x)&=2x+5x^2+\sum_{n \geq 3}a_{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5\sum_{n \geq 3}a_{n-1}x^n-7\sum_{n \geq 3}a_{n-2}x^n+3\sum_{n \geq 3}a_{n-3}x^n+\sum_{n \geq 3}2^{n-3}x^n\\ &=2x+5x^2+5x\sum_{n \geq 2}a_{n}x^n-7x^2\sum_{n \geq 1}a_{n}x^n+3x^3\sum_{n \geq 0}a_{n}x^n+x^3\sum_{n \geq 0}2^{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5x(A(x)-2x)-7x^2(A(x)-0)+3x^3A(x)+x^3\cdot \frac{1}{1-2x} \end{align} ซึ่งแก้ให้ \begin{align} A(x)&=\frac{x(11x^2-9x+2)}{(1-2x)(1-3x)(x-1)^2}\\ &=\frac{2}{(x-1)^2}-\frac{3}{2}\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-2x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-3x}. \end{align} ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของคุณหวังว่าคุณจะทำได้จากที่นี่