ใช้ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขสองครั้ง

Question

ตามกฎของความน่าจะเป็นทั้งหมดฉันรู้ว่า $P(A) = P(A|C)P(C) + P(A|C^c)P(C^c)$. ใช้ตรรกะเดียวกันฉันอยากจะบอกว่า$$P(A|B) = P(A|B,C)P(C) + P(A|B,C^c)P(C^c)$$ อย่างไรก็ตามฉันรู้ว่าข้อสรุปนี้ไม่ถูกต้องเพราะเมื่อคุณขยายความน่าจะเป็น - LHS ไม่ตรงกับ RHS

ฉันจะขยายอย่างถูกต้องได้อย่างไร $P(A|B)$ โดยการปรับสภาพในเหตุการณ์อื่นพูด $C$เหรอ?

Answer 1

$$ P(A|B) = \frac{P(A,B)}{P(B)} = \frac{P(A,B,C) + P(A,B,C^c)}{P(B)} = \frac{P(A|B,C)P(B,C) + P(A | B, C^c)P(B,C^c)}{P(B)} $$

$$ = P(A|B,C)P(C|B) + P(A | B, C^c)P(C^c|B) $$