ช่วยทำความเข้าใจสูตรความแปรปรวนทางเลือก

Question

นิยามของความแปรปรวนที่ฉันพอใจคือ

$$\Sigma_s{(x_i -\bar{x})(y_i -\bar{y})p(x_i,y_i)}$$

แต่ฉันเห็นรูปแบบนี้และฉันกำลังดิ้นรนเพื่อดูว่ามันเทียบเท่าได้อย่างไร

$$\Sigma_x \Sigma_y (x+y)^2 P_{XY}-(E(x+y))^2$$ แหล่งที่มา

Answer 1

รายการแรกที่คุณระบุคือความแปรปรวนร่วมของ $x_i$ และ $y_i$. สูตรที่สองที่คุณระบุไว้คือความแปรปรวนของ$x+y$ (กล่าวคือ $Var(x+y)$).

หากต้องการดูสิ่งนี้ให้สังเกตว่าเราสามารถเขียนได้ $Cov(X,Y)$ เช่น:

\ เริ่ม {eqnarray *} {Cov (X, Y)} & = & E (XY) -E (X) (EY) \\ & = & \ sum x_ {i} y_ {i} p_ {XY} (x_ {i}, y_ {i}) - \ sum x_ {i} p (x_ {i}, y_ {i}) \ sum y_ {i} p_ {XY} (x_ {i}, y_ {i}) \ \ & = & p_ {XY} (x_ {i}, y_ {i}) \ left (\ sum x_ {i} y_ {i} - \ sum x_ {i} \ sum y_ {i} \ right) \\ & = & \ sum (x_ {i} - \ bar {x}) (y_ {i} - \ bar {y}) p_ {XY} (x_ {i} y_ {i}) \ end {eqnarray *}

สูตรที่สองที่คุณระบุไว้นั้นมาจากแหล่งที่มาที่คุณเชื่อมโยงหลายมิติภายใต้ส่วนความแปรปรวน

ทั้งสองสูตรไม่เทียบเท่ากัน