จริงหรือไม่ $ \lim_{x\to0}\frac{f'\left(x\right)-\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}}{x}=\frac{f''\left(0\right)}{2} $ [ซ้ำ]

Question

ปล่อย $ f $ เป็นฟังก์ชันดังกล่าว $ f'' $ มีอยู่ที่ $ x=0 $.

จริงหรือไม่ที่:

$$ \lim_{x\to0}\frac{f'\left(x\right)-\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}}{x}=\frac{f''\left(0\right)}{2} ~~?$$

ฉันค่อนข้างแน่ใจว่าเพื่อให้สิ่งนี้เป็นจริง $ f'' $ควรจะต่อเนื่องซึ่งไม่ได้รับ แต่ฉันกำลังดิ้นรนเพื่อหาตัวอย่างตอบโต้ ฉันต้องหาฟังก์ชั่นที่แตกต่างกันสองเท่า แต่$ f'' $ ไม่ต่อเนื่อง (สมมติว่าฉันเข้าใจสถานการณ์)

ฉันขอขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือ ขอบคุณล่วงหน้า.

Answer 1

คุณสามารถใช้ส่วนขยายของ Taylor: $$ f(x)=f(0)+xf'(0)+x^2f''(0)/2+x^2\sigma(x) $$ ที่ไหน $\lim_{x\to0}\sigma(x)=0$. แล้ว\begin{align} \frac{1}{x}\Bigl(f'(x)-\frac{f(x)-f(0)}{x}\Bigr) &= \frac{1}{x^2}\Bigl(xf'(x)-xf'(0)-x^2f''(0)/2-x^2\sigma(x)\Bigr)\\[6px] &=-\frac{f''(0)}{2}-\sigma(x)+\frac{f'(x)-f'(0)}{x} \end{align}ไม่จำเป็นต้องมีความต่อเนื่องของอนุพันธ์อันดับสอง หนึ่งเพียงต้องการอนุพันธ์ (แรก) ที่มีอยู่ในละแวกของ$0$ และมีความแตกต่างที่ $0$.

Answer 2

ตั้งแต่

$${f'(x)-{f(x)-f(0)\over x}\over x}={f'(x)-f'(0)\over x}-{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}$$

และ

$$\lim_{x\to0}{f'(x)-f'(0)\over x}=f''(0)$$

ก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงให้เห็นว่า

$$\lim_{x\to0}{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}={f''0)\over2}$$

สามารถทำได้ด้วยการใช้ L'Hopital เพียงครั้งเดียว :

$$\lim_{x\to0}{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}=\lim_{x\to0}{f'(x)-f'(0)\over2x}={f''0)\over2}$$

(ขั้นตอนสุดท้ายไม่ใช่อีกรอบของ L'Hopital แต่เป็นคำจำกัดความของอนุพันธ์อันดับสองเงื่อนไขเดียวที่ L'Hopital ต้องการในที่นี้คืออนุพันธ์แรกถูกกำหนดในพื้นที่ใกล้เคียง $0$ซึ่งจะต้องมีความพึงพอใจในการสั่งซื้อ $f''(0)$ ออก.)