$\ell^1$ functor เป็นตัวปรับด้านซ้ายไปยัง unit ball functor
ในความคิดเห็นของคำตอบนี้
https://mathoverflow.net/a/38755/1106
Yemon Choi ตั้งข้อสังเกตว่า "The $\ell^1$ functor เป็น functor อวกาศ Banach ที่ว่างอยู่ซึ่งเป็นตัวปรับด้านซ้ายให้กับ unit ball functor ที่หลงลืม "
คำพูดนี้เป็นที่สนใจสำหรับฉัน แต่ฉันไม่ค่อยแน่ใจนักว่า Yemon กำลังพูดถึงหมวดหมู่และนักเล่นสนุกประเภทใด ฉันจินตนาการว่าเรามีหมวดหมู่ของ Banach space (กับแผนที่ใด) อยู่ด้านหนึ่ง แต่อีกด้านล่ะ? หากใครสามารถกรอกรายละเอียดได้ที่นี่ฉันจะยินดีมาก นอกจากนี้หากใครมีการอ้างอิงถึงข้อความการวิเคราะห์การทำงานซึ่งใช้มุมมองนี้ฉันก็ยินดีกับคำตอบนั้นเช่นกัน
คำตอบ
คุณต้องการใช้หมวดหมู่ $\text{Ban}_1$ของช่องว่าง Banach และแผนที่สั้น ๆ (แผนที่เชิงเส้นของบรรทัดฐานตัวดำเนินการ$\le 1$). ฟังก์ชั่นบอลหน่วย$U : \text{Ban}_1 \to \text{Set}$ แสดงโดย $\mathbb{C}$และ adjoint ด้านซ้ายจะส่งชุด $S$ ไปยังผลิตภัณฑ์ร่วมของ $S$ สำเนาของ $\mathbb{C}$ซึ่งกลายเป็น $\ell^1(S)$. นี่บอกว่าเรามีอคติตามธรรมชาติ
$$\text{Hom}_{\text{Ban}_1}(\ell^1(S), B) \cong \text{Hom}_{\text{Set}}(S, U(B))$$
ซึ่งบอกว่าเป็นแผนที่จากชุด $S$ ไปที่ลูกหน่วย $U(B)$ ของพื้นที่ Banach ขยายไปยังแผนที่สั้น ๆ โดยไม่ซ้ำใครและอิสระ $\ell^1(S) \to B$โดย "linearity"
การพูดโดยสังหรณ์ใจนี้พูดอย่างนั้น $\ell^1(S)$ ได้มาจาก $S$ โดยกำหนดให้แต่ละองค์ประกอบของ $S$ มีบรรทัดฐาน $1$ (เพื่อให้อยู่ในหน่วยบอลและสามารถแมปกับองค์ประกอบอื่น ๆ ของบอลหน่วยอื่น ๆ ได้ในไม่ช้า) จากนั้นถามว่าการรวมเชิงเส้น $\sum c_s s$มีบรรทัดฐานที่ใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ที่เข้ากันได้กับสิ่งนี้ (เพื่อให้สามารถแมปกับชุดค่าผสมเชิงเส้นอื่น ๆ ในพื้นที่ Banach อื่น ๆ ในไม่ช้า) เรามี$ \| \sum c_s s \| \le \sum |c_s|$ โดยอสมการสามเหลี่ยมและ $\ell^1$ บรรทัดฐานคือกรณีความเท่าเทียมกันของสิ่งนี้
โครงสร้างนี้เป็นลักษณะทั่วไปของการสร้าง coproduct ใน $\text{Ban}_1$ซึ่งมีลักษณะดังนี้ if $B_i$ คือชุดของ Banach space ซึ่งเป็นผลิตภัณฑ์ร่วมกันใน $\text{Ban}_1$ คือความสมบูรณ์ของผลรวมโดยตรงของปริภูมิเวกเตอร์ $\bigoplus_i B_i$ ด้วยความเคารพ "$\ell^1$ บรรทัดฐาน " $\sum_i \| b_i \|_{B_i}$.
ขออภัยสำหรับการโปรโมตตัวเอง แต่ฉันจะดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับคุณสมบัติทางหมวดหมู่ของ $\text{Ban}_1$(เช่นมันจะเสร็จสมบูรณ์ cocomplete และปิด monoidal สมมาตร) ในโพสต์บล็อกของฉันช่องว่าง Banach (และตัวชี้วัด Lawvere และประเภทปิด) โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันพยายามกระตุ้นให้ใช้แผนที่สั้น ๆ โปรดทราบว่าหากเราทำงานกับแผนที่เชิงเส้นที่มีขอบเขตเท่านั้นเราไม่สามารถหวังว่าจะกู้คืนพื้นที่ Banach ได้ถึง isometry ผ่านคุณสมบัติสากลในขณะที่ isomorphisms ใน$\text{Ban}_1$มีมิติเท่ากัน ในทางกลับกันภาษาหมวดหมู่ยังคงสามารถพูดถึงแผนที่ที่มีขอบเขตผ่านโครงสร้างปิดได้
ให้ Bang (Ban, geometric) แสดงถึงหมวดหมู่ที่มีวัตถุเป็น Banach space และมี morphisms เป็นแผนที่เชิงเส้นที่มีบรรทัดฐาน $\leq 1$. (เราสามารถทำงานบนสเกลาร์จริงหรือแบบซับซ้อนก็ได้) ให้ Set เป็นหมวดหมู่ที่มีวัตถุเป็นเซ็ตและมีสัณฐานเป็นฟังก์ชัน$\newcommand{\Ball}{{\sf ball}}$
มี functor $\Ball$จาก Bang to Set ซึ่งกำหนดให้แต่ละพื้นที่ของ Banach เป็นลูกบอลหน่วยปิด สภาพบนสัณฐานของ Bang ทำให้มั่นใจได้ว่า$f:X\to Y$ ใน Bang จำกัด เฉพาะฟังก์ชัน $\Ball(X) \to \Ball(Y)$.
สิ่งที่จะปรับให้เข้ากับ $\Ball$ดูเหมือน? เราสามารถใช้คำอธิบาย / ลักษณะเฉพาะในแง่ของวัตถุเริ่มต้นในประเภทลูกน้ำ ดังนั้นสำหรับแต่ละชุด$S$ เราต้องการพื้นที่ Banach $F(S)$ และฟังก์ชั่น $\eta_S: S \to\Ball(F(S))$ ด้วยคุณสมบัติสากลดังต่อไปนี้: เมื่อใดก็ตาม $E$ เป็นพื้นที่ Banach และ $h:S\to \Ball(E)$ เป็นฟังก์ชันที่มีลักษณะเฉพาะของ Bang-morphism $T: F(S)\to \Ball(E)$ ดังนั้น $\Ball(T)\circ\eta_S=f$ เป็นฟังก์ชัน
การเปิดเผยคำจำกัดความของสัณฐานต่างๆ: สิ่งที่เราต้องการคือสำหรับฟังก์ชั่นใด ๆ $h$ จาก $S$ ถึง $E$ น่าพอใจ $\Vert h(j)\Vert \leq 1$ สำหรับทุกอย่าง $j\in S$ควรมีแผนที่เชิงเส้นเฉพาะ $T: F(S) \to E$ ดังนั้น $\Vert T(v)\Vert \leq \Vert v\Vert$ สำหรับทุกอย่าง $v\in F(S)$ และ $T(\eta_S(j))=h(j)$ สำหรับทุกอย่าง $j\in S$.
เมื่อพยายามกระตุ้นสิ่งต่างๆแล้วมาสร้างAnsatzกันเถอะ กำหนด$F(S)$ เป็นพื้นที่ Banach $\ell_1(S)$ ด้วยบรรทัดฐานตามปกติ $\Vert\quad\Vert_1$; ปล่อย$(e_j)_{j\in S}$ หมายถึง bectors พื้นฐานที่เป็นที่ยอมรับใน $\ell_1(S)$. ตัวเลือกเดียวที่เป็นไปได้สำหรับแผนที่เชิงเส้น$T:\ell_1(S) \to E$ คือ: กำหนด $T(e_j):= h(j)$ แต่ละ $j$และขยายตามความเป็นเส้นตรงและความต่อเนื่อง หากต้องการดูว่าได้ผลโปรดสังเกตว่าสำหรับข้อใด$v=\sum_{j\in S} \lambda_j e_j \in \ell_1(S)$ เรามี
$$ \Vert \sum_{j\in S} \lambda_j h(j) \Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \Vert h(j)\Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \sup_{j\in S} \Vert h(j)\Vert \leq \Vert v \vert_1 $$
สรุป: โดยพื้นฐานแล้วสิ่งที่อาร์กิวเมนต์ด้านบนกล่าวคือแผนที่เชิงเส้นที่มีขอบเขตมาจาก $\ell_1(S)$ ไปยังพื้นที่ Banach $E$ กำหนดฟังก์ชันขอบเขต $S\to E$และในทางกลับกันทุกฟังก์ชันที่มีขอบเขต $S\to E$ มีส่วนขยายเชิงเส้นขอบเขตที่ไม่ซ้ำกัน $\ell_1(S)\to E$. (โปรดทราบว่าย่อหน้านี้ซึ่งระบุไว้ในภาษาของนักวิเคราะห์แทนที่จะเป็นภาษาจัดหมวดหมู่มีความกว้างกว่าเล็กน้อยเพราะฉันไม่ต้องการให้ทุกอย่างมีบรรทัดฐาน$\leq 1$; แต่การ จำกัด Bang ดูเหมือนเป็นเรื่องสำคัญหากใครอยากได้คำชี้แจงที่ดีเกี่ยวกับข้อเท็จจริงในการวิเคราะห์นี้ในภาษาของส่วนเสริม)
อันที่จริงเราสามารถพูดได้มากกว่านี้ว่า isomorphism $Set(S, \Ball(E)) \cong {\rm Bang}(\ell_1(S),E)$ซึ่งปริยัติเป็นเพียงการคาดเดาทางธรรมชาติของชุดสามารถเสริมสร้างให้เป็นไอโซมอร์ฟิซึมใน Bang: $\ell_\infty(S;E) \cong {\mathcal B}(\ell_1(S),E)$.
นี่คือการใช้สิทธิ 20บนหน้า 167ในการบรรยายและการออกกำลังกายในการทำงานโดยHelemskii
JiříRosickýมีการอภิปรายที่กว้างขวางมากขึ้นในAre Banach space monadic หรือไม่? , arXiv: 2011.07543