$ f $ มีความแตกต่างใน $ (0,0). $
คำจำกัดความ: Let $V\subseteq{\mathbb{R}^{m}}$ ชุดเปิด $a\in V$ ย $f\colon V\to\mathbb{R}^{n}$ฟังก์ชัน เราจะบอกว่า$f$ มีความแตกต่างใน $a,$ หากมีการแปลงเชิงเส้น $f'(a)\colon\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{n}$เช่นนั้น\ เริ่มต้น {สมการ} f (a + h) = f (a) + f '(a) (h) + r (h), \ qquad \ lim_ {h \ rightarrow 0} {\ dfrac {r (h )} {\ lVert h \ rVert}} = 0 \ end {สมการ}
ปล่อย $ a \in \mathbb {R}$เป็น. กำหนดฟังก์ชัน$ f \colon \mathbb {R}^ {2} \to \mathbb {R} $ ให้โดย
\ start {สมการ} f (x, y) = \ left \ {\ begin {matrix} \ dfrac {x \ sin ^ {2} (x) + axy ^ {2}} {x ^ {2} + 2y ^ {2} + 3y ^ {4}} & (x, y) \ neq (0,0) \\ 0 & (x, y) = (0,0) \ end {matrix} \ right \ end {สมการ}
ค้นหาค่าของ $ a $ ดังนั้น $ f $ มีความแตกต่างโดย $ (0,0). $
ความพยายามของฉัน:
เราสังเกตว่า
\ เริ่มต้น {สมการ} \ dfrac {\ partial f} {\ partial x} (0,0) = 0 = \ dfrac {\ partial f} {\ partial y} (0,0) \ end {สมการ}
ถ้า $(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\},$ แล้ว
\ เริ่มต้น {สมการ} \ dfrac {\ partial f} {\ partial x} (x, y) = \ dfrac {\ sin ^ {2} (x) (2y ^ {2} + 3y ^ {4} -x ^ {2}) + x \ sin (2x) (x ^ {2} + 2y ^ {2} + 3y ^ {4}) + ay ^ {2} (2y ^ {2} + 3y ^ {4} -x ^ {2})} {(x ^ {2} + 2y ^ {2} + 3y ^ {4}) ^ {2}} \ end {สมการ}
\ เริ่มต้น {สมการ} \ dfrac {\ partial f} {\ partial y} (x, y) = \ dfrac {2axy (x ^ {2} -3y ^ {4}) - 4xy \ sin ^ {2} (x ) (1 + 3y ^ {2})} {(x ^ {2} + 2y ^ {2} + 3y ^ {4}) ^ {2}} \ end {สมการ}
ถ้า $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0,$ แล้ว
\begin{align} 2axy(x^{2}-3y^{4})-4xy\sin^{2}(x)(1+3y^{2})=0&\quad\Longleftrightarrow\quad a(x^{2}-3y^{4})=2\sin^{2}(x)(1+3y^{2})\\ &\quad\Longleftrightarrow\quad a=\dfrac{2\sin^{2}(x)(1+3y^{2})}{x^{2}-3y^{4}} \end{align}
\ start {สมการ} f (x, y) = \ left \ {\ begin {matrix} x \ sin ^ {2} (x) & (x, y) \ neq (0,0) \\ 0 & (x , y) = (0,0) \ end {matrix} \ right \ end {สมการ}
\ เริ่มต้น {สมการ} \ dfrac {\ partial f} {\ partial x} (0,0) = 0 = \ dfrac {\ partial f} {\ partial y} (0,0) \ end {สมการ}
จากนี้ก็เป็นไปตามนั้น $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ และ $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ มีความต่อเนื่องโดย $(0,0)$ ย $f$ มีความแตกต่างโดย $(0,0).$
ข้อโต้แย้งของฉันถูกต้องหรือไม่? ข้อเสนอแนะใด ๆ ยินดีต้อนรับ
คำตอบ
เรามีสิ่งนั้น
$$\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{\dfrac{h\sin^{2}(h)}{h^{2}}}{h} =\lim_{h\to 0}\dfrac{h\sin^{2}(h)}{h^3}=1$$
$$\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{\dfrac{0}{2k^{2}+3k^4}}{k} =0$$
ตามความหมายเราต้องตรวจสอบสิ่งนั้น
$$\lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{\dfrac{h\sin^{2}(h)+ahk^{2}}{h^{2}+2k^{2}+3k^{4}}-h}{\sqrt{h^2+k^2}} =\lim_{(h,k)\to (0,0)} \dfrac{h\sin^{2}(h)+ahk^{2}-h^3-2hk^2-3hk^4}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}=0$$
ซึ่งเป็นความจริงโดย $a=2$
$$\dfrac{h\sin^{2}(h)+ahk^{2}-h^3-2hk^2-3hk^4}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}=\dfrac{h(h^2+O(h^4))+2hk^{2}-h^3-2hk^2-3hk^4}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}=$$
$$=\dfrac{-3hk^4+O(h^5)}{(h^{2}+2k^{2}+3k^{4})\sqrt{h^2+k^2}}$$
จากนั้นใช้พิกัดเชิงขั้ว
แนวทางที่แตกต่างกันบ้าง:
เพื่อให้แตกต่างได้ฟังก์ชันต้องมีความต่อเนื่องและมีอนุพันธ์ต่อเนื่อง (หรือมีอนุพันธ์ที่มีความเป็นเอกฐานที่สำคัญ) ความต่อเนื่องต้องการให้ขีด จำกัด ในขณะที่คุณเข้าใกล้จุดนั้นจะเท่ากันไม่ว่าคุณจะเข้าใกล้ทิศทางใด
สมมติว่าเราเข้าใกล้ตลอดแนว $x=y=\epsilon$. แล้วเรามี (โดยใช้ความจริงที่ว่า$\frac{d}{da}\sin^2(a)=\sin(2a)$: $$g(\epsilon)=f(\epsilon,\epsilon) = \frac{\epsilon\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^3}{\epsilon^2+2\epsilon^2+3\epsilon^4} = \frac{\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^2}{3\epsilon+3\epsilon^3}=\frac{1}{3}\frac{\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^2}{\epsilon+\epsilon^3}$$ $$g'(\epsilon)=\frac{1}{3}\frac{(\epsilon+\epsilon^3)(\sin(2\epsilon)+2a\epsilon)-(\sin^2(\epsilon)+a\epsilon^2)(1+3\epsilon^2)}{\epsilon^2+2\epsilon^4+\epsilon^6} = \frac{1}{3}\frac{\epsilon\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^2+\epsilon^3\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^4-\sin^2(\epsilon)-a\epsilon^2-3\epsilon^2\sin^2(\epsilon)-3a\epsilon^5}{\epsilon^2+2\epsilon^4+\epsilon^6}$$ $$\lim_{\epsilon\rightarrow0}g'(\epsilon)=\frac{1}{3}\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{\epsilon\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^2+\epsilon^3\sin(2\epsilon)+2a\epsilon^4-\sin^2(\epsilon)-a\epsilon^2-3\epsilon^2\sin^2(\epsilon)-3a\epsilon^5}{\epsilon^2+2\epsilon^4+\epsilon^6} = \frac{1}{3} \lim_{\epsilon\rightarrow0} \frac{\sin(2\epsilon)+2\epsilon\cos(2\epsilon)+4a\epsilon+3\epsilon^2\sin(2\epsilon)+2\epsilon^3\cos(2\epsilon)+8a\epsilon^3-\sin(2\epsilon)-2a\epsilon-6\epsilon\sin^2(\epsilon)-3\epsilon^2\sin(2\epsilon)-15a\epsilon^4}{2\epsilon+8\epsilon^3+6\epsilon^5} = \frac{1}{3} \lim_{\epsilon\rightarrow0} \frac{2\epsilon\cos(2\epsilon)+2a\epsilon+2\epsilon^3\cos(2\epsilon)+8a\epsilon^3-6\epsilon\sin^2(\epsilon)-15a\epsilon^4}{2\epsilon+8\epsilon^3+6\epsilon^5} = \frac{1}{3} \lim_{\epsilon\rightarrow0} \frac{2\cos(2\epsilon)+2a+2\epsilon^2\cos(2\epsilon)+8a\epsilon^2-6\sin^2(\epsilon)-15a\epsilon^3}{2+8\epsilon^2+6\epsilon^4} = \frac{1}{3} \frac{2+2a}{2} = \frac{1+a}{3}$$
สมมติว่าเราเข้าใกล้ตลอดแนว $-x=y=\epsilon$. จากนั้นเรามี:$$h(\epsilon)=f(-\epsilon,\epsilon) = \frac{-\epsilon\sin^2(-\epsilon)-a\epsilon^3}{\epsilon^2+2\epsilon^2+3\epsilon^4} = \frac{-\epsilon\sin^2(\epsilon)-a\epsilon^3}{\epsilon^2+2\epsilon^2+3\epsilon^4}= -g(\epsilon)$$ $$h'(\epsilon)=-g'(\epsilon)$$ $$\lim_{\epsilon\rightarrow0}h'(\epsilon)=-\lim_{\epsilon\rightarrow0}g'(\epsilon)=-\frac{1+a}{3}$$
ในทั้งสองทิศทางขีด จำกัด ของอนุพันธ์มีอยู่ดังนั้นเนื่องจากทิศทางของแนวทางไม่สำคัญเราจึงต้องการให้ขีด จำกัด เหมือนกัน $\frac{1+a}{3}=-\frac{1+a}{3}$ซึ่งหมายความว่า $a=-1$.