ฟังก์ชัน p-adic เชิงวิเคราะห์ที่รับค่าพีชคณิต

Question

สมมติว่ามีอยู่จริง $r\in\mathbb R$ ดังนั้นฟังก์ชัน p-adic ที่ไม่คงที่ $f(z)=\sum_{n\ge0}a_nz^n$ ($a_n\in\mathbb C_p$) กำหนดไว้เมื่อ $\mathcal D=\{z\in\mathbb C_p\mid v_p(z)>r\}$. มันมีอยู่จริง$\alpha\in\overline{\mathbb Q}\cap f(\mathcal D)$เหรอ? ถ้าคำตอบคือใช่มีอยู่จริงหรือไม่$\alpha\in{\overline{\mathbb Q}}\cap f(\mathcal D\cap\mathbb Q_p)$เหรอ?

Answer 1

สำหรับครั้งแรกใช่ โดยไม่สูญเสียความเป็นทั่วไปโดยการขยับเราอาจถือว่า$a_1 \neq 0$.

สำหรับ $\alpha\in \mathbb Q$, ปล่อย $x_0=0$ และ $x_{n+1} = x_n + \frac{\alpha-f(x)}{a_1}$. เพื่อตรวจสอบว่า$x_n$ มาบรรจบกันเป็น $n$ ไปที่อินฟินิตี้ถึงรากของ $\alpha-f(x)$ก็เพียงพอที่จะตรวจสอบว่า $v_p ( \alpha - f(x_{n+1})) \geq v_p ( \alpha - f(x_n)) + 1$.

การทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะมี $v_p(x_n) \geq s$ และ $v_p( x_{n+1}- x_n) \geq s$ สำหรับบางคน $s \in \mathbb R$ ดังนั้น $v_p (a_n)+n s> v_p (a_1) + s + 1$ สำหรับทุกอย่าง $n > 1$แล้วการมีส่วนร่วมของ $a_2$ และสูงกว่าถึง $\alpha - f(x_{n+1})$ จะถูกครอบงำโดยการมีส่วนร่วมของ $a_1$.

ซึ่งเป็นเรื่องง่ายที่จะมั่นใจได้โดยเลือกไฟล์ $s < \frac{ v_p (a_n) - v_p(a_1) - 1}{ n-1}$ สำหรับทุกอย่าง $n>1$ (ตรวจสอบว่าซีรี่ส์นี้อยู่ด้านล่าง) จากนั้นเลือก $alpha$ ดังนั้น $v_p ( \alpha- a_0) > a_1 + s$, ดังนั้น $v_p(x_1-x_0)>s$ และด้วยเหตุนี้อุปนัย $v_p(x_{n+1} -x_n) >s$ สำหรับทุกอย่าง $n$.

ประการที่สองไม่ เพียงแค่ใช้เวลา$f(z) = z + b$ ที่ไหน $b\notin \mathbb Q_p + \overline{\mathbb Q}$. ตั้งแต่$\mathbb C_p/\mathbb Q_p$ นับไม่ได้เช่นนั้น $b$ มีอยู่