ฟังก์ชันระยะทางแยกการวัดความน่าจะเป็นหรือไม่?
ปล่อย $(\Omega,d)$ เป็นพื้นที่เมตริกขนาดกะทัดรัดและ $\mathcal P(\Omega)$พื้นที่ของการวัดความน่าจะเป็นของ Borel ปล่อย$D=\{ d_p\mid p\in\Omega\}$ ที่ไหน $d_p(x)=d(p,x)$เป็นชุดของ "ฟังก์ชันระยะทาง" ทั้งหมด ตามปกติเราสามารถคิดได้$D$ ทำหน้าที่ $\mathcal P(\Omega)$ (หรือในทางกลับกัน) ผ่านการรวมเช่น $\langle d_p,\mu\rangle = \int_\Omega d_p(x)\,\mathrm d\mu(x)$.
หัวข้อคำถาม
ทำ $D$ ทำหน้าที่ $\mathcal P(\Omega)$ ผ่านจุดแยกการรวม?
หรือเทียบเท่า
ถ้า $\mu,\nu \in \mathcal P(\Omega)$ และ $\langle d_p,\mu\rangle = \langle d_p,\nu\rangle$ เพื่อทุกสิ่ง $p\in \Omega$แล้วต้อง $\mu=\nu$เหรอ?
สูตรทางเลือก
มีวิธีอื่นอีกสองสามวิธีในการกำหนดกรอบคำถามเช่นกัน
การกำหนดความน่าจะเป็น
เขียนอินทิกรัลทั้งหมดใหม่ตามความคาดหวังของคำถาม
ถ้า $\mathbb E_{X\sim\mu}[d_p(X)] = \mathbb E_{Y\sim\nu}[d_p(Y)]$ เพื่อทุกสิ่ง $p\in \Omega$แล้วต้อง $\mu=\nu$เหรอ?
กล่าวอีกนัยหนึ่งการรู้ระยะทางที่คาดว่าจะถึงจุดสำหรับทุกจุดเป็นตัวกำหนดการวัดหรือไม่?
การกำหนดรูปทรงเรขาคณิต
จำไว้ว่าระยะทาง 1-Wasserstein กำหนดโดย $W_1(\mu,\nu) = \inf_{\gamma\in\Gamma(\mu,\nu)} \int_{\Omega\times\Omega} d(x,y) \,\mathrm d\gamma(x,y)$ ที่ไหน $\Gamma(\mu,\nu)$ คือชุดข้อต่อระหว่าง $\mu$ และ $\nu$ คือการวัดความน่าจะเป็นของ Borel บน $\Omega\times\Omega$ ด้วยขอบ $\mu$ และ $\nu$ตามลำดับ ตั้งแต่สินค้าวัด$\delta_p\otimes\mu$ คือการมีเพศสัมพันธ์ที่ไม่ซ้ำกันระหว่างการวัดเดลต้า Dirac $\delta_p$ และ $\mu$เรามีสิ่งนั้น
$$W_1(\delta_p,\mu)=\int_{\Omega\times\Omega} d(x,y)\,\mathrm d(\delta_p\otimes\mu)(x,y)=\int_\Omega d(p,y)\,\mathrm d\mu(y)=\langle d_p,\mu\rangle$$
ตอนนี้คำถามสามารถระบุได้ทางเรขาคณิตเป็น
ถ้า $W_1(\delta_p,\mu)=W_1(\delta_p,\nu)$ เพื่อทุกสิ่ง $p\in \Omega$แล้วต้อง $\mu=\nu$เหรอ?
กล่าวอีกนัยหนึ่งคือรู้ว่า $W_1$ ระยะทางถึงจุดสูงสุดของ $\mathcal P(\Omega)$ กำหนดการวัดความน่าจะเป็นอย่างสมบูรณ์?
ฟอรัมการแปลงอินทิกรัล
กำหนดการแปลงระยะทางของ$\mu\in\mathcal P(\Omega)$ เป็นฟังก์ชัน $\phi_\mu:\Omega\to\mathbb R$ ให้โดย $\phi_\mu(p) = \int_\Omega d(p,x)\,\mathrm d\mu(x)$. ตอนนี้สามารถตั้งคำถามใหม่ได้ว่า
ระยะทางเปลี่ยนเป็นหัวฉีด $\mathcal P(\Omega)$เหรอ?
ยิ่งไปกว่านั้นโดยสูตรทางเรขาคณิตที่เรามี $\phi_\mu(p) = W_1(\delta_p,\mu)$. เราจะใช้คนที่อ่อนแอ$*$ โทโพโลยีสำหรับ $\mathcal P(\Omega)$ (ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับ $W_1$โทโพโลยี). ตั้งแต่แผนที่$p\mapsto \delta_p$ เป็นการฝังของ $\Omega$ เป็น $\mathcal P(\Omega)$ก็เป็นไปตามนั้น $\phi_\mu:\Omega\to\mathbb R$เป็นไปอย่างต่อเนื่อง แสดงการแปลงระยะทางโดย$\Phi(\mu)=\phi_\mu$. ตั้งแต่$\mathcal P(\Omega)$ Hausdorff มีขนาดกะทัดรัดและ $C(\Omega)$ Hausdorff คืออะไรเราสามารถตั้งคำถามใหม่เป็น
ถ้า $\Phi:\mathcal P(\Omega)\to C(\Omega)$ ต่อเนื่องเป็นการฝังหรือไม่?
ความคิดสุดท้าย
ข้อความที่เทียบเท่าเหล่านี้เป็นจริงหรือไม่? ฉันโชคไม่ดีที่สามารถจัดรูปแบบคำถามใหม่ได้และไม่ได้ระบุข้อพิสูจน์ใด ๆ ที่ชัดเจนแม้ว่าฉันจะไม่แปลกใจหากมีคำถามง่ายๆที่ฉันมองข้ามไป การกำหนดปัญหาทางเรขาคณิตทำให้ฉันเชื่ออย่างนั้น$D$ ไม่แยกประเด็นใน $\mathcal P(\Omega)$. อย่างไรก็ตามหากคำตอบนั้นยืนยันฉันก็รู้สึกได้ถึงคุณสมบัติที่ดีของ$\Phi$จะทำให้เป็นสิ่งที่ง่ายต่อการค้นหา ข้อมูลเชิงลึกใด ๆ จะได้รับการชื่นชม
อัปเดต:ในแง่ของตัวอย่างเคาน์เตอร์ 4 จุดที่สง่างามของ George Lowther และคำตอบที่ยืนยันของ Pietro Majer สำหรับ$\Omega=[0,1]$เป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะทำความเข้าใจให้ดีขึ้นว่าปัจจัยใดบ้างที่กำหนดว่าพื้นที่เมตริกพื้นฐานให้คำตอบที่ยืนยันหรือไม่
ตัวอย่างการโต้แย้งของจอร์จสามารถขยายไปสู่ตัวอย่างตอบโต้ได้ที่ $\Omega$เป็นทรงกลม (พร้อมเมตริกที่แท้จริง) ดังนั้นจึงต้องมี$\Omega$เป็นมิติเชิงบวกท่อร่วมเชื่อมต่อพา ธ เชื่อมต่อ ฯลฯ จะไม่ทำให้ปัญหาหายไป ในทางกลับกัน Pietro สงสัยว่าคำตอบนั้นยืนยันอีกครั้งในกรณีนี้เมื่อ$\Omega$ เป็นชุดย่อยนูนขนาดกะทัดรัดของอวกาศยุคลิด
คำตอบ
ไม่ใช่สมมติว่า $\Omega$ ประกอบด้วยจุดสี่จุดที่จัดเรียงในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยจุดที่อยู่ติดกันมีระยะห่าง 1 ระหว่างพวกเขาและจุดตรงข้ามมีระยะทาง 2 โดยเฉพาะถ้าจุดนั้นมีป้ายกำกับ A, B, C, D แล้ว \begin{align} & d(A,C)=d(B,D)=2,\\ & d(A,B)=d(B,C)=d(C,D)=d(D,A)=1. \end{align} ตัวอย่างเช่น A, B, C, D อาจมีระยะห่างเท่า ๆ กันรอบวงกลมโดยใช้เมตริกวงกลมภายใน
มีการวัดความน่าจะเป็นสองอย่างอย่างแม่นยำโดยกำหนดความน่าจะเป็น 1/2 ให้กับแต่ละจุดตรงข้ามสองจุดและความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ให้กับสองจุดที่เหลือ \begin{align} & \mu(\{A\})=\mu(\{C\}) = 1/2,\ \mu(\{B,D\})=0,\\ & \nu(\{B\})=\nu(\{D\})=1/2,\ \nu(\{A,C\})=0. \end{align}คุณสามารถตรวจสอบว่าทั้งสองมาตรการให้หนึ่งเหมือนกันสำหรับทุก`ฟังก์ชั่นระยะทาง ระยะทางเฉลี่ยจากทุกจุดเท่ากับ 1 ภายใต้ทั้งสองข้อนี้
ในด้านบวกคำตอบคือยืนยันถ้า $\Omega$ คือช่วงเวลาของหน่วย $[0,1]$ด้วยระยะมาตรฐาน ในกรณีนี้$\phi_\mu$ เป็นนูน $1$ฟังก์ชัน -Lipschitz (ในความเป็นจริงมันถูกกำหนดไว้สำหรับทุกคน $p\in\mathbb{R}$กับ $\phi'(p)=\mathrm{sgn} p$ สำหรับ $p\notin[0,1]$) ด้วยอนุพันธ์ทางซ้ายและขวา $$\phi_-'(p)=\mu[0,p)-\mu[p,1]= 2\mu[0,p)-1$$ $$\phi_+'(p)=\mu[0,p] -\mu (p,1]= 2\mu[0,p] -1=1-2\mu(p,1]$$ ดังนั้น $\mu$ ถูกกำหนดตามช่วงเวลาทั้งหมดดังนั้นในชุดย่อย Borel ทั้งหมด
ในทางกลับกันโปรดทราบว่าฟังก์ชันนูนใด ๆ $\phi$ข้างต้น
อาจเขียนในแบบฟอร์ม$\phi(p)=\int_{[0,1]}|t-p|dm(t)$ สำหรับการวัดความน่าจะเป็นของ Borel $m$ บน $[0,1]$. เนื่องจาก$g:= \frac{1}{2}\big(1-\phi_+'\big) $ เป็นฟังก์ชันแคดแล็กแบบไม่มีค่าลบดังนั้นจึงมีฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ Borel $m$ ดังนั้น $g(p)=m(p,1]$, เพราะอะไร $\phi(p)=\int_{[0,1]}|t-p|dm(t)$ ทำตามได้อย่างง่ายดายจากความสัมพันธ์ข้างต้น
ฉันเดาว่าคำตอบนั้นยืนยันได้เช่นกัน $\Omega$ ชุดนูนขนาดกะทัดรัดของ $\mathbb{R}^n$ ด้วยระยะทางแบบยุคลิด