$G$ คือจุดในสามเหลี่ยม $ABC$ ดังนั้น $[GBC]=[GCA]=[GAB]$, ที่ไหน $[XYZ]$ คือพื้นที่ของ $XYZ$. แสดงว่า $G$ เป็นเซนทรอยด์ของ $ABC$.

Question

ปล่อย $G$ เป็นจุดในสามเหลี่ยม $ABC$ ดังนั้น $[GBC]=[GCA]=[GAB]$, ที่ไหน $[XYZ]$ เป็นพื้นที่ของ triagle $XYZ$. แสดงว่า$G$ คือเซนทรอยด์ของสามเหลี่ยม $ABC$.

ความพยายามของฉัน : ตั้งแต่นั้นมา$[GBC]=[GCA]=[GAB]$ดังนั้นเราจึงมี $CG$, $AB$ และ $GB$คือ $3$ ค่ามัธยฐานดังนั้น $G$ เป็นเซนทรอยด์ของ $ABC$.

ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับมัน

Answer 1

ปล่อย $CG\cap AB=\{C_1\}$, $BG\cap AC=\{B_1\},$ $AG\cap BC=\{A_1\}$,

$S_{\Delta AGC}=S_{\Delta AGB}=S_{\Delta CGB}=s$, $S_{\Delta GBA_1}=a_2$ และ $S_{\Delta GCA_1}=a_1.$

ด้วยประการฉะนี้ $$\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{a_2}{a_1}=\frac{s+a_2}{s+a_1},$$ ซึ่งจะช่วยให้ $$a_1=a_2$$ และจากที่นี่ $A_1$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $BC$.

ตอนนี้จบได้ไหม

Answer 2

ไม่จริงเว้นแต่สามเหลี่ยม $ABC$ เป็นด้านเท่ากัน

แต่สิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงแนวการให้เหตุผลหากคุณสามารถใช้การแปลงความสัมพันธ์ได้ เรามีข้อเท็จจริงดังต่อไปนี้:

1. ภายใต้การเปลี่ยนแปลงของ Affine อัตราส่วนระหว่างสองพื้นที่จะคงที่

2. ถ้า $(ABC)$ และ $(A'B'C')$ เป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่ไม่เสื่อมสภาพจากนั้นจึงมีการเปลี่ยนแปลงที่เชื่อมโยงกันซึ่งแมปหนึ่งเข้ากับอีกรูป

ดังนั้นในการแก้ปัญหาโดยทั่วไปจึงเพียงพอที่จะแก้ปัญหาสำหรับสามเหลี่ยมด้านเท่า และคุณก็มี

Answer 3

มีหลักฐานเรื่องง่ายถ้าคุณรู้ว่าเป็นพิกัด Barycentric

กล่าวสั้น ๆ ว่าพิกัด barycentric ของจุด $M$ ภายในเป็นรูปสามเหลี่ยม $ABC$ คือระบบ $(w_A,w_B,w_C)$ ของ $3$ ตัวเลข (เรียกว่า "น้ำหนัก") เพื่อวางบนจุดยอด $A,B,C$ เพื่อให้ได้จุดศูนย์กลางมวลที่ $M$.

มีวิธีง่ายๆในการหาน้ำหนักเหล่านี้ (สิ่งที่เรียกว่าการแปลความหมายของพิกัด barycentric):

$$w_A=[MBC], \ \ w_B=[AMC], \ \ w_C=[ABM]\tag{1}$$ (https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/ray-tracing-rendering-a-triangle/barycentric-coordinates),

หมายเหตุ:ตามคำจำกัดความของพวกเขาพิกัด barycentric จะไม่ซ้ำกันขึ้นอยู่กับตัวคูณ ตัวคูณปกติที่สุดคือ$1/[ABC]$: ในกรณีนี้เราเรียกมันว่าพิกัด barycentric ปกติและผลรวมคือ$1$.

ถ้าทุกพื้นที่ $[GBC]=[GCA]=[GAB]$ มีค่าเท่ากันพิกัด barycentric ปกติคือ $(1/3,1/3,1/3)$: เรารู้จักเซนทรอยด์เหล่านั้น สิ่งนี้ช่วยให้สามารถสรุปได้เนื่องจากความเป็นเอกภาพของพิกัด barycentric

หมายเหตุ:พิกัด Barycentric เหมาะสมแม้ในขณะที่$M$ เป็นรูปสามเหลี่ยมภายนอก $ABC$: พิจารณาในข้อ (1) ว่าพื้นที่นั้นเป็นพื้นที่ที่มุ่งเน้น ตัวอย่างเช่น$[MBC]$ จะถือว่าเป็นบวกถ้าไปจาก $M$ ถึง $B$แล้วถึง $C$หนึ่งหันไปตามทิศทางตรงมิฉะนั้น $[MBC]$ ถ่ายด้วยเครื่องหมายลบ