$h^{p,q}$ ของพรูที่ซับซ้อน

Question

อย่างที่เราทราบกันดีว่าพื้นผิวของKählerที่มีขนาดกะทัดรัดพร้อมชุดประกอบแบบบัญญัติเล็กน้อยคือพื้นผิว K3 หรือทอรัสขนาด 2 ฉันรู้ $h^{0,2}$ ของพื้นผิว K3 คือ 1 และฉันรู้ $h^{0,2}$ ของทอรัสต้องไม่เป็นศูนย์ (มิฉะนั้นจะเป็นพีชคณิตเสมอ) แต่ฉันไม่รู้วิธีคำนวณ $h^{0,2}$ ของทอรัสที่ซับซ้อนของมิติที่ 2

ยังไงก็ตามมีวิธีการทั่วไปในการคำนวณตัวเลขฮอดจ์ทั้งหมดของมิติที่ซับซ้อน $n$เหรอ? ยินดีต้อนรับทุกความคิดเห็น!

Answer 1

เนื่องจากคุณใช้ทฤษฎีแท็ก Hodge: หนึ่งสามารถให้ได้ $\mathbb C^n/\Gamma$ เมตริกคงที่จาก $\mathbb C^n$. ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะหารูปแบบฮาร์มอนิกทั้งหมด

เนื่องจากบันเดิลโคแทนเจนต์ที่ซับซ้อนเป็นเรื่องเล็กน้อยและครอบคลุมโดยรูปแบบสากล $$dz^1, \cdots dz^n, d\bar z^1\cdots, d\bar z^n,$$ ทั้งหมด $(p, q)$- ฟอร์มบน $\mathbb C^n/\Gamma$ ให้ทั่วโลกโดย $$ \alpha = \alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q} dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q}.$$

ที่ไหน $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q} \in C^\infty (\mathbb C^n/\Gamma)$. ตั้งแต่

$$\Delta \alpha = (\Delta \alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}) dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q},$$

ถ้า $\alpha$ เป็นฮาร์มอนิก $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}$ต้องเป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิก ตั้งแต่$\mathbb C^n /\Gamma$ มีขนาดกะทัดรัด $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}$เป็นค่าคงที่ตามหลักการสูงสุด ด้วยประการฉะนี้$H^{p,q}$ ถูกขยายโดย $$\{ dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q}\}_{i_1<\cdots<i_p, j_1<\cdots <j_q}.$$

และ

$$h^{p,q} = C^n_p C^n_q.$$