หามุมที่หายไปในรูปสามเหลี่ยม
ในสามเหลี่ยมด้านล่างเรากำลังมองหาค่าของมุม $φ$.
เราได้รับ $α=30, β=18, γ=24$ และเช่นกัน $CD=BD$.
ฉันได้แก้ไขด้วยตรีโกณมิติ (กฎไซน์) และพบว่ามุมที่ต้องการเป็น 78 แต่ฉันต้องแก้ด้วย Geometry เท่านั้น
สิ่งที่ฉันได้ลองแล้ว:
ก่อนอื่นมุมนั้นสร้างได้ซึ่งหมายความว่าสำหรับฉันแล้วต้องมีคำตอบทางเรขาคณิต ฉันวาดสามเหลี่ยม ABC ก่อน ง่ายเพราะเรารู้ 2 มุมของมัน เราไม่สนใจความยาวของด้านข้าง จากนั้นด้วย AC ด้านข้างเป็นฐานและมุม 24 องศาเราสามารถวาดเรย์จากจุด A ได้
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา $CD=BD$, สามเหลี่ยม DCB คือหน้าจั่วดังนั้น D ต้องอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ CB ซึ่งเราสามารถวาด จุดตัดของรังสีจาก A และเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากคือจุด D
จากสามเหลี่ยม FEB เรามีสิ่งนั้น
มุม AFD = 108
จากสามเหลี่ยม AFD
$ADC+CDE+54+108=180$ ดังนั้น $ADC+CDE=18$
นอกจากนี้เรายังมี $24+ACD+ADC=180$
$ACB=132$
$132+φ+ACD=180$
$18+φ+54+ADC+2CDE=180$
ฉันเป็นหนึ่งสมการที่สั้นเสมอ
ความคิดใด ๆ ?
ขอบคุณมากในความคาดหวัง!
แก้ไข:
กฎหมายไซน์ในรูปสามเหลี่ยม ABD:
$\frac {sin (φ+18)}{AD} = \frac {sin (54)}{BD}$
กฎหมายไซน์ในสามเหลี่ยม ACD:
$\frac {sin (360-132-φ)}{AD} = \frac {sin (24)}{CD} = \frac {sin (24)}{BD}$
ดังนั้น
$\frac {sin (φ+18)}{sin (228-φ)} = \frac {sin (54)}{sin (24)}$
ด้วยเหตุนี้ $φ=78$.
คำตอบ
พิจารณาเป็นประจำ $30$-gon $X_1X_2X_3X_4X_5X_6X_7X_8X_9X_{10}X_{11}X_{12}X_{13}X_{14}X_{15}X_{16}X_{17}X_{18}X_{19}X_{20}X_{21}X_{22}X_{23}X_{24}X_{25}X_{26}X_{27}X_{28}X_{29}X_{30}$ และวางไว้บนเครื่องบินเพื่อให้ $X_1 \equiv A$, $X_6\equiv B$และนั่น $X_2$ และ $C$ นอนบนเครื่องบินครึ่งทางที่แตกต่างกันซึ่งกำหนดโดยเส้น $AB$. แสดงว่า$K=X_2$, $L=X_3$, $M=X_4$, $N=X_5$และ $X_{15}=R$.
สร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติ $KLOPQ$ดังภาพ เราจะพิสูจน์ว่า$P\equiv C$.
โปรดทราบว่า $\angle QKA = \angle LKA - \angle LKQ = 168^\circ - 108^\circ = 60^\circ$. ตั้งแต่$QK=KL=AK$มันเป็นไปตามสามเหลี่ยม $AKQ$เป็นด้านเท่ากัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,$AQ=KQ=QP$ดังนั้น $Q$ เป็นศูนย์กลางของ $AKP$. การไล่มุมให้ผลตอบแทน$\angle AQP = 360^\circ - 2\angle PKA = 360^\circ - 2(60^\circ + 36^\circ) = 168^\circ$โดยสามเหลี่ยม SAS $AQP$ สอดคล้องกับ $KLM$, $MNB$และโดยสมมาตรจะสอดคล้องกับ $MOP$. ไล่มุมอย่างต่อเนื่อง$\angle PAQ = 6^\circ$, และในที่สุดก็ $\angle BAP = \angle KAQ - \angle PAQ - \angle KAB = 60^\circ - 6^\circ - 24^\circ = 30^\circ$.
ในทางกลับกันตามความสอดคล้องของ $KLM$, $MNB$ และ $MOP$, เรามี $MK=MP=MB$ดังนั้น $M$ เป็นศูนย์กลางของ $KPB$ และดังนั้นจึง $\angle BMP = 2\angle BKP = 2(\angle LKP - \angle LKB) = 2(72^\circ - 18^\circ) = 108^\circ$ดังนั้น $\angle PBM = 36^\circ$ และ $\angle PBA = \angle PBM - \angle ABM = 36^\circ - 18^\circ = 18^\circ$.
ตั้งแต่ $\angle BAP = 30^\circ$ และ $\angle PBA = 18^\circ$เรามีสิ่งนั้น $P\equiv C$.
เราจะพิสูจน์ตอนนี้ว่า $R\equiv D$. ก่อนอื่นเรามี$\angle CAR = \angle BAR - \angle BAC = 54^\circ - 30^\circ = 24^\circ$. ประการที่สองตั้งแต่$\angle LKC = 72^\circ = \angle LKR$เรามีสิ่งนั้น $K$, $C$, $R$เป็น collinear ตั้งแต่$M$ เป็นศูนย์กลางของ $CKB$, เรามี $\angle BCR = \frac 12 \angle BMK = \frac 12 \cdot 156^\circ = 78^\circ$. นอกจากนี้เรายังมี$\angle RBC = \angle RBA - \angle CBA = 96^\circ - 18^\circ = 78^\circ$. ตั้งแต่$\angle BCR = \angle RBC$ก็เป็นไปตามนั้น $R$ อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ $CB$ซึ่งพร้อมด้วย $\angle CAR = 24^\circ$ หมายความว่า $R\equiv D$. คำตอบมีดังนี้$$\varphi = \angle BCD = \angle BCR = 78^\circ.$$
ตั้งแต่ $\angle DAB=54^o$ถ้าเราสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติบน $AD$แล้ว $AB$ แบ่งครึ่ง $\angle DAG=108^o$และ $AB$ ขยายเป็น $K$ บนเส้นรอบวงผ่านศูนย์กลาง $N$.
ขยาย $AC$ ถึง $I$, $DB$ ถึง $L$และเข้าร่วม $IK$, $KL$, $LA$, $IL$และ $DG$.
ตั้งแต่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน $AIKL$ มีมุมฉากที่ $I$มันคือสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังนั้น$\angle AIL=\angle IAK=30^o$, $\angle LAK=60^o$และ$$\angle LAG=\angle LAK-\angle GAK=60^o-54^o=6^o=\angle LDG$$และตั้งแต่ในรูปห้าเหลี่ยมปกติ $\angle ADG=36^o$และเป็นบันทึก OP $\angle ADE=18^o$แล้ว $\angle LDG=\angle ADC$.
