หากมีการวิเคราะห์ $f$ เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสองนี้แล้วค่าคงที่

Aug 16 2020

ฉันกำลังลองคำถามเกี่ยวกับการมอบหมายงานของสถาบันที่ฉันไม่ได้เรียน ฉันหลง 2 ตัวนี้

  1. ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันที่แตกต่างจากภูมิภาค $X$ ใน $\mathbb{C}$ เป็น $\mathbb{R}$ พิสูจน์ว่า $f$ จำเป็นต้องมีค่าคงที่

  2. ถ้า $f$ และ $\bar {f}$ เป็นทั้งการวิเคราะห์ในภูมิภาค $X$ แสดงว่าค่าคงที่ตามภูมิภาค $X$.

ความพยายาม:

  1. ภูมิภาคเปิดอยู่เสมอ ดังนั้นช่วงของ$f$ ต้องเปิด (ทฤษฎีบทการทำแผนที่แบบเปิด) แต่ $\mathbb{R}$ ไม่ได้เปิดใน $\mathbb{C}$ แม้ว่าจะเป็นซิงเกิลตันก็ตาม $\{x\}$ไม่ได้ปิด ดังนั้นฉันจึงสับสนว่าฉันจะพิสูจน์ข้อความได้อย่างไร

  2. สำหรับ 2 ฉันไม่มีอะไรจะแสดงเพราะฉันสับสนจริงๆว่าจะใช้ผลลัพธ์ใดเนื่องจาก $\bar{f}$ ในคำถาม.

กรุณาช่วย.

คำตอบ

2 ClementYung Aug 16 2020 at 14:30

หลักฐานของคุณสำหรับ 1) ถูกต้อง สำหรับ 2) ถ้าทั้งสองอย่าง$f$ และ $\bar{f}$ เป็นโฮโลมอร์ฟิก (แตกต่างกันได้) ดังนั้นก็เป็นเช่นนั้น $\mathrm{Re}(f)$ และ $\mathrm{Im}(f)$แต่ช่วงของพวกเขาอยู่ใน $\Bbb{R}$. จากสิ่งที่คุณพิสูจน์ในข้อ 1) ทั้งสองอย่างนี้จะต้องคงที่ดังนั้น$f$ คงที่