เหตุใดจึงไม่แสดงว่าเลขคณิต Peano ลำดับที่หนึ่งมีความสอดคล้องกัน
ปรีลิมินารี่บางประการ: ลอจิกเพรดิเคตมีความสอดคล้องและสมบูรณ์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง (i) สำหรับสูตรปิด$F$ ในแคลคูลัสเพรดิเคตที่มีความเท่าเทียมกันและฟังก์ชัน $\vdash F$ ถ้าและต่อเมื่อ $\,\vDash F$ (ที่ไหน $\vDash F$ หมายถึง $F$ เป็นจริงภายใต้การตีความมาตรฐานของค่าคงที่เชิงตรรกะสำหรับการกำหนดเพรดิเคตและฟังก์ชันที่เกิดขึ้น $F$). นอกจากนี้ (ii) ถ้า$\,\vdash F$ ในเลขคณิตลำดับที่หนึ่งจากนั้นสำหรับลำดับที่ จำกัด ของสูตร $\Gamma$ (ที่ไหน $\Gamma$ เป็นสัจพจน์ปิดของเลขคณิต Peano) $\Gamma \vdash F$ ในแคลคูลัสเพรดิเคตที่มีความเท่าเทียมกันและฟังก์ชัน
นี่คือข้อโต้แย้งของฉันฉันทำผิดพลาดตรงไหน สมมติ$\vdash F$ในลำดับที่หนึ่งเลขคณิต จากนั้นโดย (ii)$\Gamma \vdash F$ในตรรกะเพรดิเคต ด้วยประการฉะนี้$\vdash \Gamma' \rightarrow F$ (โดยที่สูตร $\Gamma'$ คือการรวมกันของสูตรใน $\Gamma$). โดย (i),$\vDash \Gamma' \rightarrow F$. จากนั้นในแบบจำลองมาตรฐานของเลขคณิต (และแบบจำลองอื่น ๆ ทั้งหมด)$\Gamma' \rightarrow F$เป็นคำกล่าวที่แท้จริงภายใต้การตีความ และในทฤษฎีจำนวนสัญชาตญาณประพจน์$\Gamma'$เป็นจริงในรุ่นมาตรฐาน ดังนั้นโดยสัญชาตญาณ$F$ต้องเป็นจริง ดังนั้นถ้า$F$สามารถพิสูจน์ได้ในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่หนึ่งแล้วมันเป็นความจริงโดยสัญชาตญาณ แล้วถ้าเลขคณิตลำดับที่หนึ่งไม่สอดคล้องกันสัดส่วน$0=0$ และ $0\neq0$จะพิสูจน์ได้และเป็นจริงทั้งในแบบจำลองมาตรฐานซึ่งไร้สาระ ดังนั้นระบบที่เป็นทางการจะต้องสอดคล้องกัน
นี่เป็นข้อโต้แย้งที่ถูกต้องหรือไม่? นี่เป็นข้อโต้แย้งที่หนักแน่นหรือเป็นการโต้แย้งแบบฮิวริสติกมากกว่าเพราะมันดึงดูดความสนใจไปที่วิธีการที่ไม่ จำกัด เป็นวงกลมเพราะอาศัยทฤษฎีจำนวนที่เข้าใจง่ายสอดคล้องกันหรือไม่? นอกจากนี้หากอาร์กิวเมนต์นี้ไม่ถูกต้องเหตุใดเราจึงกำหนดทฤษฎีจำนวนอย่างเป็นทางการถ้าเราไม่สามารถรู้ได้ว่าทฤษฎีบทนั้นจำเป็นต้องเป็นจริง
คำตอบ
ความจริงที่ว่า $\mathbb{N}$ เป็นแบบจำลองของเลขคณิต Peano ลำดับที่หนึ่ง (ต่อไปนี้เป็นเลขคณิต Peano) ก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงความสอดคล้องของการคำนวณทางคณิตศาสตร์ของ Peano
อย่างไรก็ตามข้อเท็จจริงที่ว่าเราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับชุด $\mathbb{N}$และวิธีการที่ "แบบจำลอง" ทางคณิตศาสตร์ถือว่าเรากำลังทำงานในทฤษฎีเซต (เช่น ZF) เป็นทฤษฎีเมตาดาต้าของเรา ดังนั้นเรากำลังพิสูจน์ความสอดคล้องของการคำนวณทางคณิตศาสตร์ของ Peano ในทฤษฎีที่แข็งแกร่งกว่าการคำนวณทางคณิตศาสตร์ของ Peano (ซึ่งอาจไม่สอดคล้องกัน)
เราไม่สามารถพิสูจน์ความสอดคล้องของเลขคณิต Peano ภายในการคำนวณของPeano เองได้ (เว้นแต่ว่าเลขคณิตของ Peano นั้นไม่สอดคล้องกันซึ่งในกรณีนี้เรามีปัญหาใหญ่กว่ามาก) สิ่งนี้ตามมาจากทฤษฎีบทที่ไม่สมบูรณ์ของGödel
โดยพื้นฐานแล้วความจริงที่ว่าเลขคณิตของ Peano นั้นมีความสอดคล้องกันสามารถนำมาพิจารณาเชิงปรัชญาได้มากที่สุดเท่าที่ข้อความใด ๆ ที่พิสูจน์ได้ใน ZF จะเป็นได้