เหตุใดจึงไม่สามารถใช้ฟังก์ชั่นฉีดต่อเนื่องจาก $\mathbb R$ ไปยัง $[-1, 1]$ มีผกผันไม่ต่อเนื่อง?
ที่นี่ @Ian กล่าวว่ามีคุณสมบัติเฉพาะของ$\mathbb R$ และช่วงเวลาที่ป้องกันไม่ให้ฟังก์ชันการฉีดต่อเนื่องสมมุติจาก $\mathbb R$ ไปยัง $[-1, 1]$จากการผกผันไม่ต่อเนื่อง คุณสมบัตินี้คืออะไร?
คำตอบ
แผนที่แบบฉีดต่อเนื่อง $f$ระหว่างสองช่วงเวลาจริงนั้นซ้ำซากจำเจ ถ้า$f$ ยังอยู่บนภาพโดยตรงของช่วงเวลาเปิดใด ๆ คือช่วงเวลาเปิด (สำหรับโทโพโลยีที่เหนี่ยวนำบน $[-1,1]$).
ดังนั้นภาพผกผันของช่วงเวลาที่เปิดอยู่ภายใต้ $f^{-1}$เปิด. พิสูจน์ว่า$f^{-1}$ เป็นไปอย่างต่อเนื่อง
ดังกล่าว $f$ไม่สามารถดำรงอยู่ได้ พิจารณา$f(x)=1$, ปล่อย $a<x<b$, สมมติ $f(a)<f(b)$, $f([a,x])$ เป็นช่วงเวลาเนื่องจากภาพของชุดที่เชื่อมต่อโดยแผนที่ต่อเนื่องเชื่อมต่ออยู่จึงมี $f(a)$ และ $f(x)=1$, ตั้งแต่ $f(a)<f(b)<1$มันประกอบด้วย $f(b)$. มีอยู่$c\in [a,x]$ ดังนั้น $f(x)=f(b)$. ความขัดแย้ง.
ถ้า $f(b)<f(a)$, $f([b,x])$ คือช่วงเวลาที่มี $f(a)$ ความขัดแย้ง.