เหตุใดจึงไม่มีการรวมกันของสัจพจน์โทโพโลยีและสัจพจน์ทฤษฎีการวัด
หัวข้อที่เกี่ยวข้องที่นี่
สัจพจน์ของโทโพโลยีสเปซและพื้นที่การวัดเมื่อเริ่มแรกดูเหมือนจะคล้ายกันมาก พวกเขาแตกต่างกันในหลักการปิดของสหภาพแรงงานและทางแยก ความคล้ายคลึงกันอย่างแปลกประหลาดระหว่างเมตริกและการวัดทำให้ฉันสงสัยว่าเหตุใดสัจพจน์เหล่านี้จึงถูกกำหนดแยกกัน พวกเขาไม่สามารถพัฒนาทฤษฎีด้วยแนวคิดเรื่องการวัดและพื้นที่การวัดได้หรือ?
ปัญหาหนึ่งที่ฉันเห็นคืออาจสร้างตรรกะแบบวงกลม หากเราต้องการสัจพจน์ของพื้นที่ทอพอโลยีเพื่อพัฒนาแนวคิดในทฤษฎีการวัดนั่นคือเหตุผลว่าทำไมเราจึงต้องแยกแนวคิดทั้งสองออกจากกัน การปิดสหภาพแรงงานตามอำเภอใจเทียบกับสหภาพแรงงานที่นับได้และทางแยก จำกัด กับทางแยกที่นับได้ไม่ใช่สิ่งที่ฉันอยากเห็นว่าเป็นความแตกต่างเพียงอย่างเดียวระหว่างสองแนวคิด เหตุใดจึงต้องมีระบบสองระบบแยกกันในเมื่ออย่างน้อยก็ตั้งแต่เริ่มแรกแนวคิดที่คล้ายกันมาก
คำตอบ
โทโพโลยีและ $\sigma$-algebras ได้รับการออกแบบโดยคำนึงถึงวัตถุประสงค์ที่แตกต่างกัน $\sigma$-algebras ได้รับการออกแบบมาเพื่อให้เล่นได้ดีกับการวัดซึ่งเป็นแผนที่วัดปริมาตรทั่วไป โทโพโลยีได้รับการออกแบบมาเพื่อจับภาพ "ความใกล้ชิด": เมื่อใดคือจุด$x$ ใกล้กับชุด $S$เหรอ? ถ้าทุกย่านเปิดของ$x$ ตัดกัน $S$. ลำดับจะเข้าใกล้โดยพลการเมื่อใด$x$เหรอ? ถ้าทุกย่านเปิดของ$x$มีจุดในลำดับ ของอย่างนั้น จึงไม่น่าแปลกใจที่ในตอนแรกโทโพโลยีและ$\sigma$-algebras แตกต่างกัน
แต่! หากเราคิดถึงมันมากกว่านี้เราอาจพบว่าโดยสัญชาตญาณแล้วย่านที่เปิดกว้างของจุดนั้นคือย่านที่มีระดับเสียงที่แน่นอน เช่นถ้าฉันวางบอลเปิดไว้รอบ ๆ$x$ฉันสามารถบอกได้ว่ามันมีระดับเสียงที่ไม่ใช่ศูนย์ และ$\sigma$-algebras ออกแบบมาเพื่อให้สามารถวัดปริมาตรได้ ดังนั้นชุดที่เปิดทั้งหมดไม่ควรทำเป็นไฟล์$\sigma$-พีชคณิต? ท้ายที่สุดอาจเป็นประโยชน์ในการกำหนดระดับเสียงให้กับชุดดังกล่าว และคำตอบคือใช่นั่นก็สมเหตุสมผล เราจะชอบมากถ้าเราสามารถกำหนดระดับเสียงให้กับชุดที่เปิดได้ ตัวอย่างเช่นสิ่งนี้จะช่วยให้ฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถเล่นกับระดับเสียงได้ดีเนื่องจากฟังก์ชั่นต่อเนื่องเล่นได้ดีกับชุดเปิด และนั่นคือเหตุผลที่เรากำหนดBorel$\sigma$-algebra : กำหนดช่องว่างโทโพโลยี$(X,\tau)$เรากำหนด Borel $\sigma$- พีชคณิตบน $X$ เช่น $\mathcal B(X):=\sigma(\tau)$นั่นคือสิ่งที่เล็กที่สุด $\sigma$- พีชคณิตที่มีส่วนย่อยที่เปิดอยู่ทั้งหมดของ $X$ดังนั้นชุดย่อยทั้งหมดที่ควรมีปริมาตร ตอนนี้$(X,\mathcal B(X))$ เป็นช่องว่างที่วัดได้ซึ่งเราสามารถกำหนดการวัดได้ $\mu$เพื่อกำหนดระดับเสียงให้กับชุดที่เปิดแต่ละชุดหากเรามีความโน้มเอียงมาก แนวทางนี้มักถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดมาตรการ Lebesgue เป็นต้น เราใช้เวลาเปิดแต่ละชุดของ$\mathbb R^n$และกำหนดปริมาตรที่ควรจะมีโดยสังหรณ์ใจจากนั้นเราจึงนำเซตอื่น ๆ ทั้งหมดที่เราอาจได้มาจากการรวมกันและตัดกันสิ่งเหล่านี้และกำหนดปริมาตรที่สอดคล้องกับนิยามของการวัด (มีวิธีการที่ "ดีกว่า" โดยใช้มาตรการภายนอกซึ่งให้ผลชุดที่วัดได้มากกว่า แต่วิธีนี้ง่ายกว่า)
แต่ Borel $\sigma$- พีชคณิตเป็นเพียงหนึ่งเดียว $\sigma$- พีชคณิตเราอาจต้องการ สำหรับแอปพลิเคชันอื่น ๆ แอปพลิเคชันอื่นอาจทำงานได้ดีกว่าโดยเฉพาะอย่างยิ่งหากเราไม่สนใจความรู้สึกใกล้ชิดกับชุดที่อยู่เบื้องหลัง ถ้าอย่างนั้นเราไม่จำเป็นต้องมีโทโพโลยีดังนั้นทำไมต้อง จำกัด ไฟล์$\sigma$- พีชคณิตกับโทโพโลยี?