เหตุใดการกระทำที่มีประสิทธิภาพของฟิลด์พื้นหลังจึงสร้างกราฟสุญญากาศเท่านั้น

Question

ฉันอ้างถึง " Introduction to the background field method " ของ LF Abbott ฟิลด์พื้นหลังที่สร้างฟังก์ชันคือ

$$ \tilde{Z}[J,\phi] = \int \mathcal{D}Q \exp i[S[Q+\phi] + J.Q], \text{ where } J.Q := \int d^{d}x J(x) Q(x).$$

เครื่องกำเนิดของไดอะแกรมที่เชื่อมต่อคือ:

$$ \tilde{W}[J, \phi] = -i \log \tilde{Z}[J,\phi]$$

และ

$$ \tilde{\Gamma}[J,\phi] = \tilde{W}[J,\phi] - J.\tilde{Q} \text{ where }\tilde{Q} := \frac{\delta{\tilde{W}}}{\delta J}$$ โดยการเปรียบเทียบกับ $W[J]$ และ $\Gamma[\bar{Q}]$. เพื่อให้ได้การดำเนินการที่มีประสิทธิภาพดังที่แสดงในกระดาษเราใช้

$$\tilde{\Gamma}[0,\phi] = \Gamma[\phi], \text{ and evaluate } \tilde{\Gamma}[0,\phi] .$$

ความจริงที่ว่า $\tilde{\Gamma}[0,\phi] $สร้างกราฟ 1PI โดยไม่มีขา (กราฟสุญญากาศ) ทำให้การคำนวณง่ายขึ้นมาก คำถามของฉันคือความจริงนั้นเป็นอย่างไร$\tilde{\Gamma}$ เป็นอิสระจาก $\tilde{Q}$ นำไปสู่กราฟสุญญากาศเท่านั้น?

Answer 1

การกระทำที่มีประสิทธิภาพ $\Gamma[\phi_{\rm cl}; \phi_{\rm bg}]$(ในพื้นหลัง $\phi_{\rm bg}$) เป็นการสร้างฟังก์ชันของฟังก์ชันสหสัมพันธ์ 1PI cf เช่นนี้โพสต์ Phys.SE โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,$\Gamma[\phi_{\rm cl}\!=\!0; \phi_{\rm bg}]$ คือสหสัมพันธ์ 1PI 0-pt กล่าวคือประกอบด้วยไดอะแกรมสูญญากาศ 1PI (ในพื้นหลัง $\phi_{\rm bg}$).