เหตุใดสมการของ Maxwell จึงไม่ถูกกำหนดมากเกินไป [ซ้ำ]

Question

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ทั้งสี่ในตารางที่ให้ไว้ในวิกิพีเดียที่นี่และสมมติว่าไม่มีการกระจายประจุ ณ เวลาใด ๆ และทำให้ไม่มีกระแส หากไม่มีประจุสมการทั้งสี่จะลดลงเป็นดังต่อไปนี้:

$\nabla\cdot E = 0$
$\nabla\cdot B = 0$
$\frac{\partial B}{\partial t} = -\nabla\times E$
$\frac{\partial E}{\partial t} = c^2\nabla\times B$

สมการสองสมการสุดท้ายบอกเราว่าทั้งสนามแม่เหล็กและสนามไฟฟ้าเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาตามลำดับดังนั้นสนามแม่เหล็กและสนามไฟฟ้าเริ่มต้นบางส่วนจึงควรสามารถกำหนดสถานะในอนาคตของสนามทั้งสอง สิ่งนี้ทำให้สองสมการแรกดูเหมือนซ้ำซ้อนสำหรับฉันและดูเหมือนว่าระบบจะถูกกำหนดมากเกินไป อย่างไรก็ตามพวกเขามีความจำเป็นอย่างชัดเจนดังนั้นฉันต้องขาดอะไรบางอย่าง สองสมการแรกเป็นเพียงเงื่อนไขเริ่มต้นหรือไม่?

Answer 1

สมการแมกซ์เวลล์สองตัวแรกอธิบายสนามไฟฟ้าสถิตและสนามแม่เหล็ก จากสมการเหล่านี้เราเรียนรู้คุณสมบัติทางเรขาคณิตของฟิลด์ดังกล่าวและธรรมชาติของเส้นแรงที่ฟิลด์เหล่านี้ก่อให้เกิด อันแรก (เมื่อมีค่าใช้จ่าย)

$$\nabla \cdot \vec E = \rho$$

ทำให้เราสามารถกำหนดรูปแบบของสนามไฟฟ้าสำหรับการกระจายประจุชนิดใดก็ได้ นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการศึกษาเกี่ยวกับไฟฟ้าสถิต นอกจากนี้สมการนี้สามารถใช้เพื่อหาสมการปัวซอง

$$\nabla^2 V = -\rho$$

ซึ่งช่วยให้เราสามารถกำหนดศักย์ไฟฟ้าสถิตได้ $V$สำหรับการกระจายประจุต่างๆ นอกจากนี้เรายังสามารถใช้สมการแมกซ์เวลล์ข้างต้นเพื่อหากฎของคูลอมบ์ (แม้ว่ากฎนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นผลลัพธ์โดยตรงของสมการนี้เท่านั้น) สมการปัวซองยังเป็นเครื่องมือที่ทรงพลังมากในการศึกษาเรื่องไฟฟ้าสถิต สมการนี้ยังมีการใช้งานที่มีประสิทธิภาพในฟิสิกส์เซมิคอนดักเตอร์

สมการที่สองที่คุณพูดถึง

$$\nabla \cdot \vec B = 0$$

บอกเราถึงสิ่งที่สำคัญมากซึ่งก็คือโมโนโพลแม่เหล็กไม่มีอยู่จริง ผลทางคณิตศาสตร์ของสมการนี้คือต้องมีศักยภาพเวกเตอร์แม่เหล็ก$\vec A$ ที่ไหน

$$\vec B = \nabla \times \vec A$$

นี่คือผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ที่ทรงพลัง ศักย์เวกเตอร์แม่เหล็กนี้แพร่หลายในไฟฟ้าพลศาสตร์คลาสสิกและไฟฟ้าพลศาสตร์ควอนตัม