ให้บวก $x,y$ ดังนั้น $x > y$ และ $\sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) = x+y $ค้นหาขั้นต่ำ $(x+y)$
ฉันได้รับตัวเลขบวก $x, y$ ดังนั้น $x > y$ และ $\sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) = x+y $. ฉันต้องการหาค่าต่ำสุดของ$(x+y)$. นี่คือความพยายามของฉัน ฉันใช้อสมการ AM-GM สำหรับตัวเลขที่ไม่ใช่ค่าลบ
$$ \frac{(x+y)}{2} \geqslant \sqrt{x} \sqrt{y} $$
$$ \sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) \geqslant 2 \sqrt{x} \sqrt{y} \\ \therefore (x-y) \geqslant 2 $$
ดังนั้นฉันจึงได้ข้อสรุปนี้ แต่ฉันติดอยู่ที่นี่ ความช่วยเหลือใด ๆ
ขอบคุณ
คำตอบ
โดย AM-GM $$(x+y)^2=xy(x-y)^2=\frac{1}{4}\cdot4xy(x-y)^2\leq\frac{1}{4}\left(\frac{4xy+(x-y)^2}{2}\right)^2=\frac{(x+y)^4}{16},$$ ซึ่งจะช่วยให้ $$x+y\geq4.$$ ความเท่าเทียมกันเกิดขึ้นสำหรับ $(x-y)\sqrt{xy}=x+y$ และ $4xy=(x-y)^2,$ ซึ่งจะช่วยให้ $$(x,y)=(2+\sqrt2,2-\sqrt2),$$ ซึ่งบอกว่าเรามีค่าน้อยที่สุด
ใส่ $x=r^2{cos}^2a$ และ $y=r^2{sin}^2a$ ยังให้ $a$ เป็นของ $[0,\frac{\pi}{2}]$
ดังนั้นเราต้องหาค่าสูงสุดของ $r^2$
การเสียบค่าในสมการที่กำหนดและทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้สูตรตรีโกณพื้นฐานที่เรามี $r^4(cosa)(sina)(cos2a)=r^2$ หรือ
$ r^2=\frac{4}{sin(4a)} \ge 4$
คำแนะนำ: ใส่ $x=\alpha \cosh^2(x)$ และ $y=\alpha\sinh^2(x)$ เงื่อนไขกลายเป็น:
$$\alpha=\tanh(x)+\frac{1}{\tanh(x)}$$
นิพจน์คือ:
$$x+y=\Big(\tanh(x)+\frac{1}{\tanh(x)}\Big)\frac{1+\tanh^2(x)}{1-\tanh^2(x)}$$
เราพบการแก้ปัญหา $x+y\geq 4$.
คำใบ้
การทำ
$$ \cases{ u = x+y\\ v = x-y } $$
เรามี
$$ \sqrt{u^2-v^2}=2\frac uv $$
ดังนั้น
$$ u^2 = \frac{v^4}{v^2-4} $$
เป็นต้น
ให้ $\sqrt{xy}\left(x-y\right)=x+y$
ปล่อย $yx=c$ , ที่ไหน $c>0$.
$$\sqrt{c}\left(x^{2}-c\right)=x^{2}+c$$ $$x^{2}-\frac{\left(c+1+2\sqrt{c}\right)}{\left(c-1\right)}c=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -[1]$$
ให้ฟังก์ชั่น $$F(x,c)=x^{2}-\frac{\left(c+1+2\sqrt{c}\right)}{\left(c-1\right)}c$$ถูกกำหนด แล้ว$$\frac{\partial F(x,c)}{\partial c}=0$$ คงที่ $x$ ให้เรา $c \approx 2.618 \implies x \approx 3.33 $ (โดยใช้ $[1]$). ดังนั้น,$$x+\frac{c}{x}\geqslant 4$$ $$min(x+y)=4$$
เมื่อไหร่ $x=2+\sqrt{2} \text{ and } y=2-\sqrt2$ ตามที่ระบุไว้