ให้ฟังก์ชัน $h,k:\Bbb R\to \Bbb R$เป็นไปได้หรือไม่ที่จะระบุว่า $f,g:\Bbb R\to\Bbb R$ มีอยู่ดังนั้น $g\circ f=h$ และ $f\circ g=k$เหรอ?
สมมติว่าฉันมีสองฟังก์ชัน $h,k:\Bbb R\to \Bbb R$. ฉันต้องการค้นหา$f,g:\Bbb R\to \Bbb R$ ดังนั้น $g\circ f=h$ และ $f\circ g=k$. ฉันรู้แล้ว$f,g$อาจไม่มีอยู่จริง (ตัวอย่างเช่นสมการเชิงฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบและเลขชี้กำลัง ) อย่างน้อยเรารู้เงื่อนไขสำหรับ$h,k$ ดังนั้น $f,g$ มีอยู่จริง?
เงื่อนไขใดที่รับประกันความเป็นเอกลักษณ์ของ $f,g$(โดยมีเงื่อนไขว่ามีอยู่จริง)? สังเกตว่ามี$h,k$ ดังนั้น $f,g$ไม่ซ้ำใคร ตัวอย่างเช่น,$h=k=0$, ที่ไหน $f=0$ งานและ $g$ คือฟังก์ชั่นใด ๆ $g(0)=0$. หรือเมื่อไหร่$h=k$ คือฟังก์ชันเอกลักษณ์และเราใช้ $f$ เป็นอคติใด ๆ และ $g=f^{-1}$.
อย่างน้อยที่สุดเรารู้อะไรเกี่ยวกับปัญหานี้เมื่อ $h,k$ฟังก์ชันพหุนามคืออะไร? มีแบบทดสอบง่ายๆที่บอกเราว่ามีพหุนาม$f,g$ ที่เป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับพหุนามคู่หนึ่ง ๆ $h,k$เหรอ? อีกครั้งสิ่งที่เป็นเอกลักษณ์ของการแก้ปัญหาพหุนาม?
หากปัญหาทั่วไปยากเกินไปฉันสนใจปัญหานี้มากที่สุด ฉันต้องการค้นหา$f,g:\Bbb R\to\Bbb R$ ดังนั้น $$g\circ f(x)=x^3+1$$ และ $$f\circ g(x)=x^3+3x^2+3x+2.$$ อย่างชัดเจน $f,g$เป็นฟังก์ชันทางชีวภาพหากมีอยู่ ดังนั้นเราสามารถกำหนดค่าของ$g\circ f^{-1}(-7)$เหรอ?
ฉันพบ $f,g$เกือบจะได้ผล เมื่อไหร่$f(x)=x^3$ และ $g(x)=x+1$, เรามี $g\circ f(x)=x^3+1$ แต่ $f\circ g(x)=x^3+3x^2+3x+1$. น่าเสียดายที่พวกเขาไม่ค่อยทำงาน ฉันรู้ด้วยว่าไม่มีฟังก์ชันพหุนาม$f,g$ ที่ทำงาน.
โปรดทราบว่า $$f(x^3+1)=f(x)^3+3f(x)^2+3f(x)+2$$ และ $$g(x^3+3x^2+3x+2)=g(x)^3+1.$$ $\therefore$ ถ้า $a,b$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ซ้ำกันเช่นนั้น $a^3+1=a$ และ $b^3+3b^2+3b+2=b$เราเห็นว่า $f(a)=b$ และ $g(b)=a$. ค่าเหล่านี้เป็นเพียงค่าเดียวของ$f$ และ $g$ที่ฉันรู้. แต่ฉันยังสามารถดูได้$$ f^{-1}(-7)=g(-3)$$ ถ้าช่วยได้
ปล่อย $h(x)=x^3+1$ และ $k(x)=x^3+3x^2+3x+2$. เนื่องจาก$f\circ g(x)$ และ $g\circ f(x)$ได้รับ; หา$f$ และ $g$, ถ้า $f=f_0$ และ $g=g_0$ เป็นไปตามเงื่อนไขแล้ว $f=f_0\circ \phi$ และ $g=\phi^{-1}\circ g_0$ สร้างวิธีแก้ปัญหาสำหรับอคติใด ๆ $\phi:\Bbb R\to\Bbb R$ ดังนั้น $h\circ \phi=\phi\circ h$. เพราะการทำซ้ำใด ๆ$h$ เดินทางด้วย $h$เราจะเห็นว่ามีมากมายเหลือหลาย $f$ และ $g$, ถ้า $f_0,g_0$มีอยู่ ฉันจะดูได้อย่างไรว่า$f_0,g_0$ มีอยู่จริง?
คำตอบ
ถ้า $h= g\circ f$ และ $k= f\circ g$, หนึ่งใน $h,k$ คือการคาดเดาและการฉีดยาอื่น ๆ แล้ว $f$, $g$, $h$, $k$ ล้วนมีอคติและ $$k = f\circ h \circ f^{-1}$$, นั่นคือ $h$, $k$เป็นผัน ในทางกลับกันถ้า$h$, $k$ จะผันแล้วคุณจะพบ $f$และจากนั้น $g$. ตอนนี้การผันคำกริยาเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน
ตอนนี้ในตัวอย่างของเรา $h(x) = x^3+1$, $k(x) = (x+1)^3 + 1$ดังนั้น $k(x-1) + 1 = x^3+2$การผันคำกริยาของ $k$. ตอนนี้เราต้องการดูว่า$h_1(x) = x^3+1$ และ $h_2(x) =x^3+2$เป็นผัน สังเกตว่าทั้งสองมีจุดคงที่ที่ไม่ซ้ำกัน$\xi_1$, $\xi_2$, และสำหรับ $x> \xi_i$ เรามี $h_i^{n}(x) \to \infty$ เช่น $n\to \infty$, $h_i^{n}(x) \to \xi_i$, เช่น $n\to -\infty$ในขณะที่ $x< \xi_i$, เรามี $h_i^{n}(x) \to -\infty$ เช่น $n\to \infty$, $h_i^{n}(x) \to \xi_i$, เช่น $n\to -\infty$. ดังนั้นวงโคจรทั้งหมดของ$h_i$- ยกเว้นจุดที่มีจุดคงที่ - ไม่มีที่สิ้นสุด ดังนั้นจึงมีอคติ$\phi\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ดังนั้น $h_2= \phi\circ h_1\circ \phi^{-1}$. เห็นได้ชัดว่าไม่ซ้ำใครดี$\phi$จะเป็นที่ต้องการ โปรดทราบว่า$\phi$ ใช้จุดคงที่ของ $h_1$ ไปยังจุดคงที่ของ $h_2$.
ปรากฏว่าทั้งสอง $h_1$, $h_2$ ทำตัวเหมือนแผนที่ $x\to 2 x$. พวกเขาเชื่อมต่อกับโทโพโลยีหรือไม่? โปรดทราบว่า$l(x) = 2x$ เป็นส่วนหนึ่งของไฟล์ $1$- กลุ่มพารามิเตอร์ของ diffeomorphism ของ $\mathbb{R}$, $(t,x)\mapsto 2^{t}\cdot x$. ถ้า$h_1$, $h_2$ ผันเข้ากับ $l$จากนั้นก็เป็นแต่ละส่วนของไฟล์ $1$- กลุ่มพารามิเตอร์ของ homeomorphisms ของ $\mathbb{R}$. โดยเฉพาะมีอยู่$\psi$ homeomorphism ของ $\mathbb{R}$ ดังนั้น $\psi\circ \psi(x) = x^3+1$. homeomorphism จะเป็นอย่างไร
$\bf{Added:}$ กรณีที่ทั้งสอง $k$, $k$bijections นั้นง่ายกว่าหรือไม่ซึ่งจะช่วยลดคำถามที่ว่าเมื่อสองแผนที่เชื่อมต่อกันภายใต้ bijection พวกเขาจะเป็นในกรณีที่ "กราฟ" ของแผนที่เป็นแบบไอโซมอร์ฟิกโดยที่กราฟประกอบด้วยจุดยอด$x$และขอบ $(x, h(x))$. สำหรับ bijections โครงสร้างวัฏจักรของมันจะต้องเหมือนกัน
พิจารณาเช่นแผนที่ $x\mapsto 2 x$และ $x\mapsto 4 x$. พวกเขาผันกันภายใต้ bijection$x\mapsto x^{2_+}\colon = x^2 \operatorname{sign} x$. แผนที่$x\mapsto 2x$และ $x\mapsto 3x$ ถูกผันภายใต้แผนที่ $x\mapsto x^{\log_2 3_+}$.
นี่คือภาคผนวกของการวิเคราะห์ที่ยอดเยี่ยมมากที่ให้ไว้แล้วโดย orangeskid ในแง่ของการวิเคราะห์ฉันจะให้ข้อเท็จจริงง่ายๆเกี่ยวกับการผันโทโพโลยีกับค่าความเป็นจริง
ข้อเรียกร้อง 1:ถ้า$f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องไม่ถูกผูกไว้ด้านบนและด้านล่างและเช่นนั้น $f(0)>0$ก็มีเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องและเข้มงวด $\varphi:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ ดังนั้น $\varphi(0)=0$ และ $f\circ\varphi(x)=\varphi(x+1)$. ยิ่งไปกว่านั้นถ้า$f(x)>x$ เพื่อทุกสิ่ง $x\in\mathbf{R}$แล้ว $\varphi$ ยังไม่ถูกผูกไว้ด้านบนและด้านล่าง
หลักฐาน:เนื่องจากเรารู้$f(0)>0$, ปล่อย $\varphi(a)=af(0)$ เพื่อทุกสิ่ง $a\in[0,1)$. เราจะกำหนดส่วนที่เหลือของ$\varphi$ โดยขยายในแฟชั่นที่ชัดเจน: $\varphi(x)=f^{(\lfloor x\rfloor)}\circ\varphi\left(x-\lfloor x\rfloor\right)$, ที่ไหน $f^{(-)}$ หมายถึงการทำซ้ำการทำงานเป็น $f$เป็น bijective สิ่งต่อไปที่ต้องทำอย่างชัดเจนคือตรวจสอบว่าสิ่งนี้ตรงกับความต้องการ:
เราบังคับ $f\circ\varphi(x)=\varphi(x+1)$ โดยการก่อสร้างเพื่อให้เสร็จสิ้น
หากต้องการตรวจสอบความต่อเนื่องโปรดทราบว่า $f^{(\lfloor x\rfloor)}$ มีความต่อเนื่องเสมอดังนั้นโดยองค์ประกอบการทำงาน $\varphi$ ต่อเนื่องมากกว่า $\mathbf{R}\smallsetminus\mathbf{Z}$. เพื่อตรวจสอบความต่อเนื่องใน$\mathbf{Z}$ก็เพียงพอที่จะตรวจสอบความต่อเนื่องเป็น $x\to 1^-$. สำหรับบันทึกนี้ว่า$$\varphi(1)=f\circ\varphi(0)=f(0)=\lim_{x\to 1^-}\varphi(x)$$
เพื่อที่จะได้เห็น $\varphi$ เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดโปรดทราบว่า $f^{(\lfloor x\rfloor)}$ เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดโดยสมมติฐานและสิ่งนั้น $\varphi$ เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด $[0,1)$ดังนั้นเราจึงได้รับ $\varphi$ เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดในทุกช่วงเวลา $[z,z+1)$ ที่ไหน $z\in\mathbf{Z}$. อย่างไรก็ตาม$\varphi$ เป็นไปอย่างต่อเนื่องและเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด $\mathbf{R}$.
ตอนนี้เพื่อตรวจสอบส่วน "ยิ่งกว่านั้น"
- ถ้า $\varphi$ ไม่ถูกผูกมัดจากนั้นโดยการบรรจบกันแบบโมโนโทนจะมีขอบเขต $M=\lim_{x\to A}\varphi(x)$ ที่ไหน $A\in\pm\infty$. อย่างไรก็ตามเป็น$f$ เป็นไปอย่างต่อเนื่อง $$f(M)=f\left(\lim_{x\to A}\varphi(x)\right)=\lim_{x\to A}f(\varphi(x))=\lim_{x\to A}\varphi(x+1)=M$$ สิ่งนี้ขัดแย้งกับที่ $f(x)>x$ เพื่อทุกสิ่ง $x\in\mathbf{R}$.
ข้อเรียกร้อง 2:ถ้า$f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดและต่อเนื่องเช่นนั้น $f(0)=0$ และ $f(x)>x$ เพื่อทุกสิ่ง $x>0$จากนั้นจะมีการเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องและไม่ถูกผูกมัด $\varphi:[0,\infty)\to[0,\infty)$ ดังนั้น $\varphi(0)=0$ และ $f\circ\varphi(x)=\varphi(2x)$.
หลักฐาน:ให้$g:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ มอบให้โดย $g(x)=\log_2 f(2^x)$. ตามข้อเรียกร้อง 1 มีอยู่บ้าง$\psi:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ ที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องไม่ถูกผูกไว้ด้านบนและด้านล่างและเช่นนั้น $g\circ\psi(x)=\psi(x+1)$. จากนั้นให้$\varphi(x)=2^{\psi(\log_2 x)}$เราจึงเห็นว่า $$\varphi(2x)=2^{\psi(1+\log_2 x)}=2^{g\circ\psi(\log_2 x)}=f(2^{\psi(\log_2 x)})=f\circ\varphi(x)$$
ข้อเรียกร้อง 3:ถ้า$f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องและมีจุดคงที่ที่ไม่แน่นอนเพียงจุดเดียว $c$, นั่นคือ, $f(x)>x$ เพื่อทุกสิ่ง $x>c$ และ $f(x)<x$ เพื่อทุกสิ่ง $x<c$จากนั้นก็มี homeomorphism เพิ่มขึ้น $\varphi:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ ดังนั้น $\varphi^{-1}\circ f\circ \varphi(x)=2x$.
หลักฐาน:ให้$g:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ มอบให้โดย $g(x)=f(x+c)-c$ดังนั้น $g$ แบ่งปันคุณสมบัติทั้งหมดกับ $f$ ยกเว้น $0$ คือจุดคงที่ของ $g$. ตามข้อเรียกร้อง 2 มี homeomorphisms เพิ่มขึ้น$\varphi_{\pm}:[0,\infty)\to[0,\infty)$ ดังนั้น $\varphi_{\pm}(0)=0$และยิ่งไปกว่านั้นทั้งสองอย่าง $\varphi_+^{-1}\circ g\circ\varphi_+(x)=2x$ และ $\varphi_-^{-1}(-g(-\varphi_-(x)))=2x$. ปล่อย$\psi:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ มอบให้โดย $$\psi(x)=\begin{cases} \varphi_+(x)&\text{if }x\ge 0\\ -\varphi_-(-x)&\text{if }x<0 \end{cases}$$ แล้วก็ไม่ยากที่จะเห็นว่า $\psi$ เป็น homeomorphism ที่เพิ่มมากขึ้นเช่นนั้น $\psi^{-1}\circ g\circ\psi(x)=2x$. สุดท้ายให้$\varphi:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ มอบให้โดย $\varphi(x)=\psi(x)+c$ถ้าอย่างนั้น $$2x=\varphi^{-1}(\psi(2x)+c)=\varphi^{-1}(g\circ\psi(x)+c)=\varphi^{-1}\circ f\circ\varphi(x)$$
ตามข้อพิสูจน์โปรดทราบว่าทั้งสองอย่าง $x^3+1$ และ $x^3+2$ ตรงตามข้อเรียกร้อง 3 ดังนั้นทั้งสองจึงผันเข้ากับ $2x$.
นอกจากนี้โปรดทราบว่าเป็นไปได้อย่างสมบูรณ์ที่จะแก้ไขการพิสูจน์ดังกล่าวทั้งสองอย่าง $x^3+1$ และ $x^3+2$ ผันเข้ากับ $2x$ ผ่าน homeomorphism ที่ราบรื่นในทุกส่วน $\mathbf{R}$ ยกเว้นที่จุดคงที่
สิ่งนี้หลีกเลี่ยงไม่ได้:
เพิ่มการอ้างสิทธิ์ 4:พิจารณาฟังก์ชันเชิงเส้นสองฟังก์ชัน$f(x)=2x$ และ $g(x)=4x$. ปล่อย$\varphi:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ เป็น homeomorphism เช่นนั้น $\varphi\circ f=g\circ\varphi$. แล้ว$\varphi$ ไม่สามารถแตกต่างกันสองครั้งอย่างต่อเนื่องที่ $0$.
การพิสูจน์:สมมติว่าไม่เป็นเช่นนั้นตามทฤษฎีบทของเทย์เลอร์เรามี$$\varphi(x)=ax+bx^2+h(x)\cdot x^2$$ ที่ไหน $h$ ต่อเนื่องที่ $h(0)=0$. จากนั้นขยายบน$\varphi\circ f=g\circ\varphi$ในที่สุดเราก็ได้ $$h(2x)-h(x)=\frac{a}{2x}$$ การ จำกัด $x\to 0$ ทั้งสองด้านเราจะเห็นสิ่งนั้น $a=0$และ $h(2x)=h(x)$. อย่างไรก็ตามความต่อเนื่องของ$h$ ที่ $0$ บอกเป็นนัยว่า $h$ เหมือนกัน $0$, หมายความว่า $\varphi(x)=bx^2$และ $\varphi$ ไม่สามารถเป็น homeomorphism ได้