ให้หน้าสัมผัส $AB$ และ $AC$ ที่ $F$ และ $E$. ปล่อย $C \cap FE=L$ และ $BI \cap EF= N$. แสดงว่า $B,L,N,C$ เป็นวงจร

Question

ปล่อย $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมโดยมี I เป็นจุดศูนย์กลางและปล่อยให้วงกลมสัมผัส $AB$ และ $AC$ ที่ $F$ และ $E$. ปล่อย$C\cap FE=L$ และ $BI\cap EF= N$. แสดงว่า$B,L,N,C$ เป็นวงจร

ตอนนี้ฉันยังไม่มีความคืบหน้าสำคัญ แต่นี่คือข้อสังเกตของฉัน:

• $BLNC$ เป็นวงกลมนอนอยู่บนวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง $ BC$
• $FLIB$ และ $NIEC$ เป็นวัฏจักรด้วย

ฉันคิดว่าคำถามนี้สามารถตรวจสอบได้ง่าย แต่ฉันต้องการได้รับการพิสูจน์เชิงสังเคราะห์

ขอบคุณล่วงหน้า !

Answer 1

อ้างสิทธิ์. $\angle BLI=90$

หลักฐานการเรียกร้อง. มันเพียงพอที่จะแสดง$BFLI$ เป็นวงจรที่ $D=\odot(I)\cap BC$. สำหรับสิ่งนี้โปรดทราบว่า$$\angle LDB=\pi - \angle LDC=\pi - \angle LEC=\angle AEF=\angle AFE$$ด้วยประการฉะนี้ $BFLI$เป็นวงจร นี่เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์การอ้างสิทธิ์

ในทำนองเดียวกันเราได้รับ $\angle BLC=90=\angle BNC$ ดังนั้น $BLNC$ เป็นวงจรด้วย $BC$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง

Answer 2

รู้ว่าโฮพิสูจน์ได้อย่างไร $FLIB$ และ $NIEC$ เป็นวัฏจักรคุณมากกว่าที่แก้ไขได้ครึ่งทาง

คุณต้องพิสูจน์ $\angle LBN=\angle LCN$ (แล้ว $BLNC$เป็นวัฏจักร)
แต่$\angle LBI=\angle LFI$ ตั้งแต่ $BFLI$เป็นวัฏจักร
ในทำนองเดียวกัน$\angle ICN=\angle IEN$ ตั้งแต่ $NIEC$ เป็นวงจร

ดังนั้นคุณต้องพิสูจน์ $\angle IFE=\angle IEF$ แต่มันเป็นความจริงตั้งแต่นั้นมา $\triangle IEF$ คือหน้าจั่ว - $IF=IE$ เป็น innerradii