ไฮเพอร์จีโอเมตริกแบบปิด $\, _4F_3\left(\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{7}{8},\frac{9}{8};\frac{5}{6},\frac{7}{6},\frac{9}{6};z\right)$
ปล่อย $f(z)=\sqrt[3]{\sqrt{z^2-z^3}+z}$, $g(z)=\sqrt{\frac{f(z)}{z}+\frac{1}{f(z)}}$ แล้วจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าสำหรับ $\ 0<z<1$:
$$\small \, _4F_3\left(\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{7}{8},\frac{9}{8};\frac{5}{6},\frac{7}{6},\frac{9}{6};z\right)=\frac{4 \sqrt[4]{2} }{3 \sqrt{3}}\left(g(z)-\sqrt{-\frac{f(z)}{z}+\frac{2 \sqrt{2}}{z g(z)}-\frac{1}{f(z)}}\right)^{3/2}$$
สูตรนี้รวบรวมจากไซต์ Wolfram Functions แต่ไม่มีการพิสูจน์ที่นั่น ฉันคิดว่ามันจะคุ้มค่าที่จะหาข้อพิสูจน์ที่เข้มงวดรวมถึงการตรวจสอบแรงจูงใจของสูตรนี้เพื่อสร้างอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไปในรูปแบบปิดพีชคณิตที่คล้ายกัน (เป็นไปได้มาก$_2F_1$คู่สัญญาคือผู้ที่อยู่ในรายชื่อของ Schwarz) ความช่วยเหลือใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชม!
คำตอบ
ต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์ที่ค่อนข้างยืดเยื้อของสูตร แต่มีเพียงสองขั้นตอนหลักเท่านั้น "การสังเกต" ที่สำคัญ (!) คือนิพจน์ในวงเล็บทางด้านขวามือเป็นสัดส่วนกับหนึ่งในรากของพหุนามควอร์ติก$z x^4 - 4 x + 3$. ดังนั้นก่อนอื่นเราสามารถพิสูจน์ได้ว่านิพจน์ในวงเล็บแก้ควอร์ติกได้จริงจากนั้นเราจะพิสูจน์ว่าฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกที่กำหนดเท่ากับฟังก์ชันเฉพาะของรากควอร์ติก
สำหรับขั้นตอนแรกเราก็สามารถใช้สูตรสำหรับราก quartic สูตรบน Wikipedia เขียนขึ้นสำหรับควอร์ติกทั่วไป$a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e$และค่อนข้างยุ่งยากที่จะทำซ้ำที่นี่ แต่สำหรับเรา $b = c = 0$นิพจน์จำนวนมากจึงทำให้ง่ายขึ้น ออกจากการยืนยันระดับกลางบางส่วนให้คุณฉันจะแจ้งให้ทราบ$\Delta_0 = 36z$, $\Delta_1 = 432z$ และ $p = 0$ดังนั้น $$ Q = 6 \sqrt[3]{z + \sqrt{z^2-z^3}} = 6 f(z)\ , $$ ซึ่งหมายความว่า $$ S=\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{1}{f(z)} + \frac{f(z)}{z}}\ . $$ การเสียบสิ่งนี้และ $q = - 4/z$ ในสูตรสุดท้ายสำหรับรากเราจะได้รับ $$ x_{u, v} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(u\sqrt{\frac{1}{f(z)} + \frac{f(z)}{z}}+v\sqrt{-\left(\frac{1}{f(z)} + \frac{f(z)}{z}\right)+2\sqrt{2} v\left/\sqrt{\frac{1}{f(z)} + \frac{f(z)}{z}}\right.}\right)\ . $$ การ $u=\pm 1$ และ $v = \pm 1$ให้รากทั้งสี่แก่เรา รากที่ปรากฏในนิพจน์ของคุณคือ$x_{1,-1}$.
("การสังเกต" ที่กว้างไกลในตอนต้นของคำตอบจำเป็นต้องรู้สูตรควอร์ติกมาก่อนเนื่องจากสูตรควอร์ติกประกอบด้วย $$ Q = \sqrt[3]{\frac{\Delta_1 + \sqrt{\Delta_1^2 - 4\Delta_0^3}}{2}}\ , $$ อาจมีใครคาดคิดว่า $f(z)\propto Q$ในสูตรรากสำหรับควอร์ติกเนื่องจากอำนาจและรากตรงกัน เพื่อที่จะเกิดขึ้นเราต้องการทั้งสองอย่าง$\Delta_0$ และ $\Delta_1$ จะเท่ากับ $z$. เพื่อให้ตรงกับรูปแบบของ$S$เรายังต้องการ $p = (8ac - 3 b^2)/8a^2 = 0$. เพื่อตอบสนองข้อ จำกัด ประการหลังเราจึงคาดเดาว่า$b =c = 0$. ข้อ จำกัด เดิมบังคับให้เราคาดเดาสิ่งนั้น$a$ เป็นสัดส่วนกับ $z$.)
ต่อไปเราจะแสดงให้เห็นว่า ${}_4 F_3\left(\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{7}{8},\frac{9}{8};\frac{5}{6},\frac{7}{6},\frac{9}{6};z\right) = \left(\frac{4}{3} x_{1,-1}(z)\right)^{3/2}$. (ขอแทนนิพจน์นี้ด้วย$(\star)$สำหรับการอ้างอิงในภายหลัง) ในการทำเช่นนั้นก่อนอื่นเราจะพิสูจน์ว่าฟังก์ชันทางด้านขวามือเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์ไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไปจากนั้นหาเงื่อนไขเริ่มต้นพิเศษบางอย่างซึ่งจะทำให้เรามีคำตอบเฉพาะที่เท่ากับด้านซ้ายมือ
กรณีเฉพาะของสมการไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไปที่เราควรพิจารณาคือ $$ \begin{multline} z \frac{d}{dz} \left(z \frac{d}{dz} + b_1 - 1\right) \left(z \frac{d}{dz} + b_2 - 1\right) \left(z \frac{d}{dz} + b_3 - 1\right) y(z)\\ = z \left(z \frac{d}{dz} + a_1\right) \left(z \frac{d}{dz} + a_2\right) \left(z \frac{d}{dz} + a_3\right) \left(z \frac{d}{dz} + a_4\right) y(z)\ , \end{multline} $$ ที่ไหน $a_1 = \frac{3}{8}, a_2=\frac{5}{8}, a_3 = \frac{7}{8}, a_4=\frac{9}{8}$ และ $b_1 = \frac{5}{6},b_2 = \frac{7}{6},b_3 = \frac{9}{6}$. มันมี$4$ โซลูชันอิสระเชิงเส้นซึ่งหนึ่งในนั้นคือ ${}_4 F_3(a_1, a_2, a_3, a_4; b_1, b_2, b_3;z)$. โซลูชันอื่น ๆ อยู่ในรูปแบบ$z^{1-b_i} {}_4 F_3(1+a_1-b_i, 1 + a_2-b_1,1+a_3-b_i,1+a_4-b_i;1+b_1-b_i,\dots, 2-b_i;z)$.
เราสามารถตรวจสอบได้ว่าไฟล์ $\left(\frac{4}{3} x_{1,-1}(z)\right)^{3/2}$แก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยการเสียบมันรับอนุพันธ์ทั้งหมดแล้วทำให้ง่ายขึ้น อย่างไรก็ตามนี่เป็นงานที่ค่อนข้างยากแม้ว่าจะได้รับความช่วยเหลือจาก Mathematica ก็ตาม ในที่นี้ผมขอนำเสนอวิธีการอื่นที่ไปในทิศทางตรงกันข้ามนั่นคือเราจะสร้างสมการเชิงอนุพันธ์ที่เรียกว่าตัวต้านทานเชิงอนุพันธ์ที่$\left(\frac{4}{3} x_{1,-1}(z)\right)^{3/2}$ satisifes ซึ่งจะกลายเป็นสมการไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไปด้านบน
การก่อสร้างที่นี่เป็นที่ที่คล้ายกันมากกับกระบวนการที่อธิบายไว้ในคำตอบนี้ที่นี่ โดยพื้นฐานแล้วสิ่งที่เราจะทำคือการเขียนอนุพันธ์เชิงเส้นรวมกันของ$y(z)$ ที่ถูกบังคับให้เป็นศูนย์เนื่องจากความสัมพันธ์บางอย่างที่อนุพันธ์เหล่านี้ทำให้อิ่มตัวซึ่งได้มาจากสมการพีชคณิตที่ $y$ตัวเองพอใจ ตั้งแต่$x(z) = \left(\frac{4}{3} y(z)\right)^{3/2}$ พอใจ $z x^4 - 4x +3$เรามีสมการต่อไปนี้สำหรับ $y$, $$ \frac{81}{256} z y^{8/3} - 3 y^{2/3} + 3 = 0\ . $$ เราสามารถแยกแยะสมการนี้โดยปริยายเพื่อแสดงอนุพันธ์ทั้งหมดของ $y$ ในแง่ของ $y$ และ $z$. เราต้องการหาค่าสัมประสิทธิ์$\mu_i(z)$ ที่ทำให้นิพจน์ต่อไปนี้เป็นศูนย์ $$ \mu_0 y''''(z) + \mu_1 y'''(z) + \mu_2 y''(z) + \mu_3 y'(z) + \mu_4 y(z) + \mu_5\ . $$ ใช้นิพจน์ของ $y^{(n)}(z)$ ที่ได้รับมาก่อนหน้านี้สามารถเขียนใหม่เป็นฟังก์ชันที่มีเหตุผลของ $y^{1/3}$ ซึ่งตัวเศษเป็นพหุนามของ $y^{1/3}$ในระดับสูง เราสามารถใช้สมการพีชคณิตสำหรับ$y$ เพื่อลดระดับของพหุนามนี้ลงให้เหลือน้อยกว่า $8/3$. ตอนนี้เราบังคับให้นิพจน์นี้เป็นศูนย์ซึ่งก็คือค่าสัมประสิทธิ์ของแต่ละพลังของ$y^{1/3}$ ควรจะเป็น $0$. จากเงื่อนไขเหล่านี้เราสามารถแก้ปัญหาได้$\mu_i$ ในแง่ของ $z$และสุดท้ายได้สมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้ $$ \begin{multline} (z^3-z^4)y''''(z) + \left(\frac{13}{2}z^2-9z^3\right)y'''(z) \\ + \left(\frac{305}{36}z - \frac{615}{32}z^2\right)y''(z) + \left(\frac{35}{24} - \frac{555}{64}z\right)y'(z) - \frac{945}{4096} y(z) = 0\ . \end{multline} $$เราสามารถเสียบพารามิเตอร์ของสมการไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไปและทำให้ง่ายขึ้นเพื่อยืนยันว่ามันเหมือนกับตัวต้านทานเชิงอนุพันธ์ กระบวนการนี้ค่อนข้างน่าเบื่อและไม่ยากด้วยความช่วยเหลือของ Mathematica ดังนั้นฉันจะไม่บันทึกไว้ที่นี่ อย่างไรก็ตามเพื่อให้ชัดเจนขึ้นอีกนิดฉันจะบอกว่าสมการนั้นง่ายกว่า$$ \begin{multline} (z^3-z^4) y''''(z) + [(t_1 + 3)z^2 - (s_1 + 6)z^3]y'''(z) + \\ [(t_1+t_2+1)z-(3s_1+s_2+7)z^2]y''(z) + [t_3 - (s_1+s_2+s_3+1)z]y'(z) - s_4 y(z) = 0 \end{multline} $$ ที่ไหน $s_i$ และ $t_i$ คือปริญญา $i$ พหุนามสมมาตรเบื้องต้นใน$a_1,a_2, a_3, a_4$ และ $b_1, b_2, b_3$ตามลำดับ หวังว่าจะง่ายกว่าการตรวจสอบด้วยมือ
สุดท้ายเพื่อหาคำตอบเฉพาะของตัวทำละลายที่แตกต่างที่ทำให้อิ่มตัว $(\star)$เราสามารถใช้อนุพันธ์ทางด้านขวามือเพื่อระบุเงื่อนไขเริ่มต้นที่จะตรึงวิธีแก้ปัญหานั้น ๆ อนุพันธ์เหล่านี้สามารถประเมินได้ง่ายเนื่องจากในขั้นตอนแรกของการสร้างตัวทำละลายส่วนต่างเราได้แสดงอนุพันธ์ในรูปของค่าของฟังก์ชันแล้ว