หลักฐานข้อเสนอ 11.20 ของ Atiyah-Macdonald
ฉันต่อสู้กับการตรวจสอบความไม่เท่าเทียมกันของคำสั่งเสาที่ยืนยันในข้อพิสูจน์ข้อ 11.20 (สามารถดูคำชี้แจงและหลักฐานของโจทย์ฉบับเต็มได้ที่นี่: Atiyah-Macdonald 11.20 และ 11.21 )
คำถามของฉันคือจะพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมนี้ได้อย่างไร
ฉันพบแหล่งข้อมูลออนไลน์มากมายที่ครอบคลุมปัญหาต่างๆของหนังสือเล่มนี้ แต่ฉันไม่พบปัญหานี้เลย ฉันคิดว่ามันจะเป็นประโยชน์หากมีการอ้างอิงถึงเรื่องนี้ด้วยเช่นกันเนื่องจากคำตอบที่ลึกซึ้งอาจเป็นประโยชน์สำหรับทุกคนที่พยายามเรียนรู้เรื่องนี้จากหนังสือเล่มนี้
ในกรณีที่เป็นที่สนใจฉันได้ใช้ความพยายามของตัวเองตามสมมติฐานเพิ่มเติมต่อไปนี้:
- $d((A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]/(\bar{f}))$ ต้องอ้างถึงลำดับเสาเป็นอีกอัน $d$ (ระดับของพหุนามลักษณะเฉพาะ) กำหนดไว้สำหรับวงแหวนเฉพาะที่เท่านั้น
- โครงสร้างการให้คะแนนของแหวนนี้คือ $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$, ที่ไหน $\bigoplus A_n$ คือการให้คะแนนมาตรฐานของ $(A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]$.
แก้ไข:ฉันเดาว่าปัญหาไม่ชัดเจนเพียงพอเว้นแต่จะมีเนื้อหาที่ค่อนข้างลึกในหนังสือดังนั้นฉันจะสรุปสั้น ๆ ของผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องที่พบในบทที่ 11 ถึง (11.20): สำหรับแหวนที่ให้คะแนน Noetherian$A$ สร้างเป็นไฟล์ $A_0$- พีชคณิตโดย $s$ องค์ประกอบที่เป็นเนื้อเดียวกันของระดับที่ 1 ทฤษฎีบท (11.1) ระบุว่าอนุกรมPoincaré $P(M,t) = \sum^\infty_{n=0}\lambda(M_n)t^n$ ของการให้คะแนนที่สร้างขึ้นอย่างประณีต $A$-โมดูล $M$ มีเสาแห่งการสั่งซื้อ $d(M)\leq s$ ที่ $t=1$. สิ่งนี้ให้ขอบเขตบนสำหรับ$d(A)$ เมื่อรับ $M=A$. อย่างไรก็ตามความไม่เท่าเทียมกันใน (11.20) แนะนำขอบเขตล่างสำหรับ$d((A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]/(\bar{f}))$. ขอบเขตล่างของลำดับขั้วเกิดขึ้นก่อนหน้านี้ในข้อความในรูปแบบของความเท่าเทียมกันเท่านั้นกล่าวคือในกรณีพิเศษที่วงแหวนที่ให้คะแนนเป็นแหวนที่มีการให้คะแนนที่เกี่ยวข้อง$G_\mathfrak{q}(A)$ ของวงแหวนท้องถิ่น Noetherian $A$WRT ก$\mathfrak{m}$- เหมาะอย่างยิ่ง $\mathfrak{q}$ [ลำดับเสาของ $G_\mathfrak{q}(A)$ ในกรณีนี้เท่ากับสลัว $A$]. ดังนั้นความยากจึงอยู่ที่การขาดผลลัพธ์ในการกำหนดขอบเขตล่างของลำดับเสา
คำตอบ
ปล่อย $\bigoplus A_n$ เป็นระดับมาตรฐานของ $(A/\mathfrak{q})[t_1,\dots,t_d]$. homomorphism ของแหวนที่ให้คะแนน$\bigoplus A_n \to \bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$ คาดเดาได้และมีเคอร์เนล $(\bar{f})$ดังนั้น $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$ เป็นการให้คะแนนของ $(A/\mathfrak{q})[t_1,\dots,t_d]/(\bar{f})$. $\alpha$ ทำให้เกิดแผนที่ $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s} \to \bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ ตั้งแต่ $(\bar{f}) \subseteq \textrm{Ker}(\alpha)$ดังนั้นเราจึงได้รับ homomorphisms ที่คาดเดาได้ดังต่อไปนี้ของแหวนที่ให้คะแนน: $$ \bigoplus A_n \to \bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s} \to \bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}. $$ โปรดทราบว่า $A_n/\bar{f}A_{n-s}$ และ $\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ คือ $A/\mathfrak{q}$- โมดูลสำหรับทุกคน $n$ (สมมติ $s > 0$) และต้องมีความยาว จำกัด ตั้งแต่ $A/\mathfrak{q}$คือ Artin ตั้งแต่$\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ คือภาพโฮโมมอร์ฟิกของ $A_n/\bar{f}A_{n-s}$เราก็มีเช่นกัน $l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) \leq l(A_n/\bar{f}A_{n-s})$. ในที่สุดสังเกตว่าตั้งแต่$\bigoplus A_n$ ถูกสร้างเป็นไฟล์ $A/\mathfrak{q}$- พีชคณิตโดย $t_1,\dots,t_d$แหวนอีกสองวงถูกสร้างขึ้นโดยภาพของสิ่งเหล่านี้ เนื่องจากภาพเหล่านี้ล้วนเป็นเนื้อเดียวกันขององศา 1 เราจึงได้ค่าจาก (11.2) สำหรับขนาดใหญ่ทั้งหมด$n$, $l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1})$ เป็นพหุนาม $g(n)$ ระดับ $d(\bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) - 1$ และ $l(A_n/\bar{f}A_{n-s})$ เป็นพหุนาม $h(n)$ ระดับ $d(\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}) - 1$. ตั้งแต่ตอนนี้$$g(n) = l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) \leq l(A_n/\bar{f}A_{n-s}) = h(n)$$ สำหรับขนาดใหญ่ทั้งหมด $n$เราต้องมีสิ่งนั้น $\deg g(n) \leq \deg h(n)$ดังนั้น $$ d(\bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) = \deg g(n) + 1 \leq \deg h(n) + 1 = d(\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}) $$ ซึ่งพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน