หมายเลขคร่อมเทียบกับหมายเลขครอบคลุม
เพียงแค่ต้องการตรวจสอบอีกครั้งว่าคำหลักในหน้า 9 ของสไลด์นี้ถูกต้องหรือไม่: http://www.math.leidenuniv.nl/~avdvaart/talks/09hilversum.pdf
เลมม่า: $N(\epsilon,\cal F,||\cdot||)\leq N_{[]}(2\epsilon,\cal F,||\cdot||). $
หลักฐาน: ถ้า $f$ อยู่ใน $2\epsilon$- เบรก $[l,u]$จากนั้นมันก็อยู่ในลูกบอลแห่งรัศมี $\epsilon$ รอบ ๆ $(l+u)/2$.
ฉันคิดว่าการพิสูจน์หมายความว่าอย่างไรถ้าเป็นชุดของ $2\epsilon$- วงเล็บครอบคลุม $\cal F$จากนั้นชุดนี้ยังเป็นชุดของลูกรัศมี $\epsilon$ ที่สามารถครอบคลุม $\cal F$. เนื่องจากอาจมีลูกรัศมีชุดอื่น ๆ$\epsilon$ ที่สามารถครอบคลุม $\cal F$หมายเลขครอบคลุมจะไม่ใหญ่กว่าหมายเลขคร่อม
ฉันยังไม่พบข้อสรุปเดียวกันนี้ในตำราเล่มใดที่ฉันสามารถหาได้ (ไม่แน่ใจว่าเป็นเพราะข้อสรุปนี้เป็นเรื่องเล็กน้อยเกินไปหรือไม่) ดังนั้นฉันจึงไม่ค่อยมั่นใจที่จะพูดว่าถูกหรือผิด ฉันจะขอบคุณจริงๆถ้าใครสามารถสอนฉันได้ !!
คำตอบ
การทำรายละเอียดของคุณเป็นสิ่งที่ถูกต้องเป็นหลักยกเว้นวงเล็บเองไม่ได้ $\|\cdot\|$- ลูกบอล
ถ้า $[l,u]$ คือ $2\epsilon$- วงเล็บจากนั้นจะมีอยู่ในไฟล์ $\|\cdot\|$- ลูกรัศมี $\epsilon$ โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่ $(l+u)/2$, ตั้งแต่ $l \le f \le u$ หมายถึง $$\|f - (l+u)/2\| \le \frac{1}{2} \|f-l\| + \frac{1}{2} \|f - u\| \le \|u-l\| = \epsilon.$$
ดังนั้นปกของ $2\epsilon$- วงเล็บสามารถเปลี่ยนได้ด้วยฝาครอบที่มีขนาดใหญ่กว่า $\epsilon$-$\|\cdot\|$- ลูกบอลที่มีความสำคัญเหมือนกัน