หมวดหมู่สามเหลี่ยมมีหัวใจเมื่อใด
สมมติ $\mathcal{T}$คือหมวดหมู่สามเหลี่ยม เงื่อนไขคืออะไร$\mathcal{T}$ต้องตอบสนองเพื่อให้มีโครงสร้างตัวt ? หากมีโครงสร้างtซึ่งเงื่อนไขเพิ่มเติมจะช่วยให้มั่นใจได้$\mathcal{T}$ เป็นประเภทที่ได้มาจากหัวใจหรือไม่?
คำถามของฉันได้รับแรงบันดาลใจจากการค้นหาอย่างต่อเนื่องสำหรับหมวดหมู่ของแรงจูงใจแบบผสมผสานซึ่งมีโครงสร้างของหมวดหมู่สามเหลี่ยมหลายแบบ ในบริบทนี้เป็นกรณีที่
(1) เงื่อนไขดังกล่าวข้างต้นเป็นไปตามหมวดหมู่สามเหลี่ยมที่มีอยู่หนึ่งหรือทั้งหมดเพื่อให้มั่นใจได้ว่ามีหมวดหมู่ abelian อยู่และปัญหาที่เหลือเป็นหนึ่งในการสร้างโครงสร้างตัวทีหรือ
(2) ไม่ทราบว่าเงื่อนไขเป็นไปตามหมวดหมู่สามเหลี่ยมใด ๆ ที่มีอยู่ดังนั้นแม้จะไม่ทราบว่ามีโครงสร้างtหรือ
(3) ไม่ทราบเงื่อนไขดังกล่าวกล่าวคือคำตอบสำหรับคำถามของฉันในย่อหน้าแรกคือ "ไม่รู้!" อย่างน้อยก็ในลักษณะทั่วไปนั้น
ฉันเชื่อว่าจากการอ่านของฉันตัวเลือก (1) ไม่เป็นความจริง แต่ฉันได้รวมเอาไว้เพื่อให้แน่ใจ ขอบคุณ!
คำตอบ
คำพูดโง่ ๆ ก็คือ "เล็กน้อย" $t$- โครงสร้างมีอยู่เสมอ คุณควรจะบอกว่าคุณต้องการขอบเขตหรือไม่เสื่อมโทรม$t$-โครงสร้าง. เท่าที่ฉันจำได้ไม่ใช่ลบที่ไม่ใช่ศูนย์$K$- กลุ่มของ $T$ควรให้สิ่งกีดขวางสำหรับสภาพในอดีตหากคุณเชื่อว่าหัวใจเป็น noetherian หรืออะไรทำนองนี้ โปรดทราบว่ากลุ่มเหล่านี้มีไว้สำหรับ$DM_{gm}$isomorphic ของแรงจูงใจ Chow; ดู Sosnilo, Vladimir, Theorem of the heart ในทฤษฎี K เชิงลบสำหรับโครงสร้างน้ำหนัก Doc. คณิตศาสตร์. 24 (2562), 2137–2158
สำหรับการเปรียบเทียบ $DM_{gm}$ ด้วย $D^b(MM)$: ลองอ่าน (บทนำสู่?) Positselski, Leonid, แรงจูงใจแบบ Artin-Tate แบบผสมที่มีสัมประสิทธิ์ จำกัด มอสก์ คณิตศาสตร์. ญ. 11 (2554) เลขที่ 2, 317–402