Hyperconcise Math C5: อินพุตหลายตัว

กราฟของฟังก์ชันที่มีอินพุตอิสระ n ตัว (ซึ่งถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันของจุดเดียว) กำหนดวัตถุ n มิติในปริภูมิ n+1 มิติ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่มีหนึ่งอินพุต y = f(x) (x, y และ z เป็นจำนวนจริง) กำหนดเส้นโค้ง (มีความยาวแต่พื้นที่เป็นศูนย์) ในขณะที่ฟังก์ชันที่มีอินพุตอิสระสองตัว (z = f(x, y)) กำหนดพื้นผิว (มีพื้นที่แต่ปริมาตรเป็นศูนย์):

ฟังก์ชันหลายตัวแปรบางตัวไม่ได้กำหนดไว้สำหรับเส้นโค้งหรือพื้นที่ทั้งหมดในพื้นที่อินพุต:

ลิมิตที่มีตัวแปรหลายตัว (เนื่องจากอินพุตเข้าใกล้จุดโดยพลการ (a,b…) เอาต์พุตเข้าใกล้ตัวเลขโดยพลการ) มีคุณสมบัติเหมือนกับลิมิตของตัวแปรเดียว (โปรดทราบว่าในลิมิตหลายตัวแปรของฟังก์ชัน ขึ้นอยู่กับ x เท่านั้น ตัวแปรอื่นๆ สามารถลบออกเพื่อสร้างขีดจำกัดตัวแปรเดียว) อย่างไรก็ตาม หากลิมิตตามทุกเส้นโค้งในพื้นที่อินพุตที่มี (a,b,…) ไม่เหมือนกัน ลิมิตโดยรวมที่ (a,b,…) “ไม่มีอยู่” (c คือจำนวนใดๆ ที่ไม่มี ขึ้นอยู่กับ x):

การพิสูจน์ว่าขีดจำกัดหลายตัวแปรมีอยู่โดยทั่วไปเกี่ยวข้องกับการใช้คุณสมบัติขีดจำกัด การทำให้ซับซ้อน การเปลี่ยนตัวแปร หรือทฤษฎีบทบีบ