“ $\Sigma_1^1$-Peano arithmetic” - ปักหมุดลงหรือไม่ $\mathbb{N}$เหรอ?
ปล่อย $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$เป็นทฤษฎีในลอจิกลำดับที่สองที่ได้รับจากการขยายสัจพจน์ของ Peano ลำดับที่หนึ่งตามปกติเพื่อรวมโดยพลการ$\Sigma^1_1$สูตรในโครงร่างการเหนี่ยวนำ คำถามของฉันคือ:
ทำ $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ มีรุ่นที่ไม่เป็นมาตรฐานหรือไม่?
โปรดทราบว่าแบบจำลองของ $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ เป็นแบบจำลองของ $\mathsf{PA}$ ด้วยไม่ (ไม่เหมาะสม) $\Sigma^1_1$- ตัดที่กำหนดได้
ถ้าเราเปลี่ยน $\Sigma^1_1$ ด้วย $\Pi^1_1$ คำตอบจะเป็นลบทันทีเนื่องจากชุดขององค์ประกอบมาตรฐานของแบบจำลองของ $\mathsf{PA}$ คือ $\Pi^1_1$. อย่างไรก็ตามดูเหมือนจะไม่มีอะไรคล้ายกัน$\Sigma^1_1$ (แม้ว่าฉันจะพลาดอะไรบางอย่างที่ชัดเจนไปได้ง่ายๆ)
ข้อสังเกตอย่างรวดเร็วอย่างหนึ่งก็คือ $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ไม่ก่อให้เกิดการคำนวณทางคณิตศาสตร์ลำดับที่หนึ่งที่แท้จริง ให้สูตรลำดับแรก$\varphi(x)$, ปล่อย $\hat{\varphi}(x)$ เป็น $\Sigma^1_1$ สูตร "มีการตัดประกอบด้วย $x$ เพื่อให้ทุกองค์ประกอบของการเจียระไนเป็นไปตามนั้น $\varphi$. "ถ้า $M\models\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ เรามีเล็กน้อย $\hat{\varphi}^M\in\{\emptyset,M\}$; โดยการเหนี่ยวนำกับความซับซ้อนของ$\varphi$ เราสามารถแสดงให้เห็นว่าถ้าจำนวนธรรมชาติมาตรฐานทุกตัวเป็นไปตามเงื่อนไข $\varphi$ แล้ว $0\in\hat{\varphi}^M$ และด้วยเหตุนี้ $M\models\forall x\varphi(x)$ (ซึ่งจะให้ $M\equiv\mathbb{N}$). อย่างไรก็ตามฉันไม่เห็นวิธีใช้สิ่งนี้เพื่อจัดหมวดหมู่ ในความเป็นจริงเท่าที่ฉันรู้มันเป็นไปได้ว่าเช่นพลังพิเศษที่ไม่สำคัญทุกอย่างของ$\mathbb{N}$ พอใจ $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$. (สังเกตว่า$\Sigma^1_1$ประโยคจะถูกเก็บรักษาไว้ภายใต้การใช้พลังพิเศษ อย่างไรก็ตามตัวอย่างของการเหนี่ยวนำสำหรับ$\Sigma^1_1$ สูตรคือ $\Sigma^1_1\vee\Pi^1_1$ และ $\Pi^1_1$ ประโยคจะไม่ถูกเก็บรักษาไว้ภายใต้การใช้พลังพิเศษดังนั้นสิ่งนี้ดูเหมือนจะไม่ช่วยอะไร)
คำตอบ
หากคุณอนุญาต $\Sigma^1_1$ สูตรที่มีพารามิเตอร์ตามด้วย PA$_{\Sigma^1_1}$มีเฉพาะรุ่นมาตรฐาน ในการพิสูจน์ให้ใช้ไฟล์$\Pi^1_1$ ความหมายของมาตรฐานเพื่อสร้างก $\Sigma^1_1$ สูตร $\sigma(x,y)$ พูดว่า $x<y$ และ $y-x$ ไม่ได้มาตรฐานกล่าวคือ $x$ อยู่ด้านล่างสุดไม่มีที่สิ้นสุด $y$. มันง่ายมากที่จะแสดงสิ่งนั้น$\sigma(x,y)$ หมายถึง $\sigma(x+1,y)$. ดังนั้นโดย$\Sigma^1_1$ การเหนี่ยวนำถ้า $\sigma(0,y)$ แล้ว $\forall x\,\sigma(x,y)$ และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง $\sigma(y,y)$ซึ่งเป็นเรื่องไร้สาระ ดังนั้น$\neg\sigma(0,y)$. แต่นั่นหมายความว่า$y$ เป็นมาตรฐาน