หลักการสะท้อนกับจักรวาล
ในการอภิปรายตามหมวดหมู่มักจะมีการล่อลวงให้ดูหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนทั้งหมดหรือทุกหมวดหมู่ ฯลฯ ซึ่งนำไปสู่ปัญหาเซต - ทฤษฎีตามปกติอย่างรวดเร็ว สิ่งเหล่านี้มักหลีกเลี่ยงได้โดยใช้จักรวาล Grothendieck ในภาษาเซต - ทฤษฏีคำหนึ่งจะแก้ไขคาร์ดินัลที่ไม่สามารถเข้าถึงได้อย่างรุนแรง$\kappa$ - นั่นหมายความว่า $\kappa$ เป็นพระคาร์ดินัลที่นับไม่ได้บางตัวสำหรับทุกคน $\lambda<\kappa$เช่นกัน $2^\lambda<\kappa$และสำหรับชุด $<\kappa$ หลายชุด $S_i$ ขนาด $<\kappa$นอกจากนี้สหภาพของพวกเขาก็มีขนาด $<\kappa$. ซึ่งหมายความว่าเวที$V_\kappa\subset V$ ของ "ชุดขนาด $<\kappa$"เป็นรูปแบบของ ZFC - ด้วยการใช้การดำเนินการใด ๆ กับชุดเช่นการใช้พาวเวอร์เซ็ตหรือสหภาพแรงงานคุณจะไม่สามารถออกจาก $V_\kappa$. จากนั้นชุดเหล่านี้จะเรียกว่า "เล็ก" จากนั้นหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนขนาดเล็กนั้นมีการกำหนดไว้อย่างชัดเจน
ในอดีตวิธีนี้ถูกใช้ครั้งแรกโดย Grothendieck; ข้อความพื้นฐานล่าสุดคือผลงานของ Lurie$\infty$- หมวดหมู่ อย่างไรก็ตามการใช้งานของพวกเขาได้สร้างฟันเฟืองอยู่เสมอโดยบางคนไม่เต็มใจที่จะปล่อยให้สัจพจน์ที่อยู่นอกเหนือจาก ZFC หลุดเข้าไปในวรรณกรรมที่เป็นที่ยอมรับ ตัวอย่างเช่นฉันคิดว่าเมื่อถึงจุดหนึ่งมีการถกเถียงกันมานานว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้รับการพิสูจน์แล้วใน ZFC หรือไม่ซึ่งตอนนี้ McLarty ได้ตัดสินแล้ว เมื่อไม่นานมานี้ฉันได้เห็นข้อโต้แย้งที่คล้ายกันเกิดขึ้นสำหรับทฤษฎีบทซึ่งมีการพิสูจน์ถึงผลงานของ Lurie (โดยส่วนตัวแล้วฉันไม่ได้มีความรู้สึกรุนแรงเกี่ยวกับเรื่องนี้และเข้าใจข้อโต้แย้งไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง)
ในทางกลับกันมันก็เป็นกรณีที่การตรวจสอบอย่างใกล้ชิดพบว่าในความเป็นจริงแล้วการใช้จักรวาลใด ๆ ก็ไม่จำเป็น ตัวอย่างเช่น Stacks Project ไม่ใช้จักรวาล แต่ (ดูTag 000Hพูด) มันทำให้สมมติฐานอ่อนแอลงอย่างมีประสิทธิภาพ$\kappa$ ไม่สามารถเข้าถึงได้อย่างมากถึงบางสิ่งบางอย่างเช่นข้อ จำกัด ที่แข็งแกร่งของความสัมพันธ์ร่วมกันนับไม่ได้กล่าวคือ: สำหรับทุกคน $\lambda<\kappa$หนึ่งมี $2^\lambda<\kappa$และเมื่อใดก็ตามที่คุณมีคอลเลกชันชุดที่นับได้$S_i$ ขนาด $<\kappa$รวมถึงการรวมกันของ $S_i$ มีขนาด $<\kappa$. ZFC พิสูจน์การมีอยู่ของสิ่งนั้นได้อย่างง่ายดาย$\kappa$และเกือบทุกข้อโต้แย้งเราอาจนึกภาพว่าการทำในหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนก็ใช้งานได้จริงในหมวดหมู่ของ $\kappa$- กลุ่ม abelian ขนาดเล็กสำหรับสิ่งนั้น $\kappa$. หากมีข้อโต้แย้งที่ซับซ้อนกว่าก็สามารถเสริมสร้างสมมติฐานเริ่มต้นได้$\kappa$. ฉันมีโอกาสเล่นเกมนี้ด้วยตัวเองดูส่วนที่ 4 ของwww.math.uni-bonn.de/people/scholze/EtCohDiamonds.pdfสำหรับผลลัพธ์ จากประสบการณ์นี้ฉันค่อนข้างมั่นใจว่าเราสามารถเขียน "ทฤษฎีโทโปสที่สูงขึ้น" ของ Lurie ขึ้นมาใหม่ได้ในทำนองเดียวกันหรืองานเกี่ยวกับหมวดหมู่ - ทฤษฎีอื่น ๆ ที่คล้ายคลึงกันเพื่อลบพระคาร์ดินัลที่ไม่สามารถเข้าถึงได้ทั้งหมดออกโดยการเลือกอย่างระมัดระวัง$\kappa$ ด้วยคุณสมบัติดังที่กล่าวมาข้างต้น
ในความเป็นจริงดูเหมือนว่าจะมีทฤษฎีบทของ ZFC ซึ่งเป็นหลักการสะท้อน (กล่าวถึงสั้น ๆ ในTag 000Fของโครงการ Stacks เป็นต้น) ซึ่งดูเหมือนจะรับประกันได้ว่าสิ่งนี้เป็นไปได้เสมอ กล่าวคือสำหรับชุดสูตรที่ จำกัด ใด ๆ ของทฤษฎีเซตมีขนาดใหญ่พอสมควร$\kappa$ เช่นนั้นโดยประมาณว่าสูตรเหล่านี้มีอยู่ $V_\kappa$ ถ้าพวกเขาถือเข้า $V$. สิ่งนี้ดูเหมือนจะบอกได้ว่าสำหรับชุดสูตรที่กำหนดใด ๆ เราสามารถหาสูตรได้บางส่วน$\kappa$ ดังนั้น $V_\kappa$ทำตัวเหมือนจักรวาลเกี่ยวกับสูตรเหล่านี้ แต่โปรดแก้ไขฉันด้วยความเข้าใจที่ไร้เดียงสาของฉันเกี่ยวกับหลักการสะท้อนแสง! (ข้อเท็จจริงที่เกี่ยวข้องคือ ZFC พิสูจน์ความสอดคล้องของส่วน จำกัด ใด ๆ ของสัจพจน์ของ ZFC)
ในทางกลับกันข้อความทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ที่ระบุจะมีเพียงสูตรจำนวนมากเท่านั้น (เว้นแต่จะระบุว่าเป็น "สคีมาทฤษฎีบท" ซึ่งโดยปกติฉันไม่เชื่อว่าจะเกิดขึ้นได้) ดังนั้นคำถามจึงใช้ถ้อยคำที่ยั่วยุเล็กน้อย:
หลักการสะท้อนหมายความว่าต้องเป็นไปได้ที่จะเขียนทฤษฎี Higher Topos ใหม่ในลักษณะที่หลีกเลี่ยงการใช้จักรวาลหรือไม่?
แก้ไข (28.01.2021):ขอบคุณมากสำหรับคำตอบที่เป็นประโยชน์ทั้งหมด! ฉันคิดว่าตอนนี้ฉันมีภาพที่ชัดเจนขึ้นมาก แต่ฉันก็ยังไม่แน่ใจว่าคำตอบของคำถามคืออะไร
จากสิ่งที่ฉันเข้าใจ (โดยประมาณ) meta-theorem ที่ดีที่สุดในทิศทางนี้มีดังต่อไปนี้ (เฉพาะสำหรับ HTT) โปรดจำไว้ว่า HTT แก้ไขสองคาร์ดินัลที่ไม่สามารถเข้าถึงได้อย่างมาก$\kappa_0$ และ $\kappa_1$จึงทำให้มีที่ว่างสำหรับขนาดเล็ก (นิ้ว $V_{\kappa_0}$) ขนาดใหญ่ (นิ้ว $V_{\kappa_1}$) และใหญ่มาก (นิ้ว $V$) วัตถุ จากนั้นเราสามารถลองอ่าน HTT ในระบบสัจพจน์ต่อไปนี้ (ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเป็นบทความเรื่อง "Set-theoretic foundation of category theory" ของ Feferman และได้เสนอไว้ในคำตอบของ Rodrigo Freire ด้านล่าง)
(i) สัจพจน์ของ ZFC ตามปกติ
(ii) สองสัญลักษณ์อื่น ๆ $\kappa_0$ และ $\kappa_1$ด้วยสัจพจน์ที่พวกเขาเป็นพระคาร์ดินัลนั่นคือความสามัคคีของ $\kappa_0$ นับไม่ได้และความเป็นหนึ่งเดียวของ $\kappa_1$ มีขนาดใหญ่กว่า $\kappa_0$.
(iii) แบบแผนความจริงกล่าวว่าสำหรับทุกสูตร $\phi$ ของทฤษฎีเซต $\phi\leftrightarrow \phi^{V_{\kappa_0}}$ และ $\phi\leftrightarrow \phi^{V_{\kappa_1}}$.
จากนั้นสามารถใช้หลักการสะท้อนกลับเพื่อแสดง (ดูคำตอบของ Rodrigo Freire ด้านล่างสำหรับภาพร่างของการพิสูจน์):
ทฤษฎีบท. ระบบสัจพจน์นี้อนุรักษ์นิยมมากกว่า ZFC กล่าวอีกนัยหนึ่งคือทฤษฎีบทใด ๆ ในระบบที่เป็นทางการนี้ซึ่งไม่ได้อ้างถึง$\kappa_0$ และ $\kappa_1$ ยังเป็นทฤษฎีบทของ ZFC
นี่เป็นข้อสรุปที่ชัดเจนที่ฉันต้องการ
โปรดทราบว่า $V_{\kappa_0}$ และ $V_{\kappa_1}$ เป็นแบบจำลองของ ZFC แต่ (อย่างยิ่ง!) สิ่งนี้ไม่สามารถพิสูจน์ได้ในระบบที่เป็นทางการเนื่องจาก ZFC ไม่สามารถเป็นจริงได้อย่างแน่นอนและมีเพียงสัจพจน์ของ ZFC แต่ละตัวเท่านั้นที่กำหนดโดย (iii)
สิ่งที่ดีอย่างหนึ่งเกี่ยวกับระบบสัจพจน์นี้คือการอนุญาตให้มีการโต้แย้งในรูปแบบ "เราพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เป็นครั้งคราวสำหรับหมวดหมู่ย่อย ๆ แต่เราสามารถนำไปใช้กับหมวดหมู่ขนาดใหญ่ได้"
คำถามที่แม่นยำยิ่งขึ้นคือ:
อาร์กิวเมนต์ของ HTT ทำงานในระบบที่เป็นทางการนี้หรือไม่
Mike Shulman ในส่วนที่ 11 ของ https://arxiv.org/abs/0810.1279ให้การอธิบายที่ชัดเจนมากว่าปัญหาที่อาจเกิดขึ้นที่นี่คืออะไร กล่าวคือถ้าคุณมีชุด$I\in V_{\kappa_0}$ และชุด $S_i\in V_{\kappa_0}$ สำหรับ $i\in I$คุณไม่ได้รับอนุญาตให้สรุปว่าการรวมกันของไฟล์ $S_i$ อยู่ใน $V_{\kappa_0}$. ข้อสรุปนี้จะรับประกันเฉพาะในกรณีที่ฟังก์ชัน$i\mapsto S_i$ ยังถูกกำหนดไว้ใน $V_{\kappa_0}$ (หรือถ้า $I$สามารถนับได้โดยสมมติฐานพิเศษของความสัมพันธ์ร่วมกันนับไม่ได้) ในทางปฏิบัติหมายความว่าเมื่อเราต้องการยืนยันว่าบางสิ่งบางอย่าง "เล็ก" (เช่นใน$V_{\kappa_0}$) การตัดสินนี้ไม่เพียง แต่เกี่ยวข้องกับวัตถุเท่านั้น แต่ยังรวมถึงรูปแบบอื่น ๆ อีกด้วยตอนนี้ฉันยังไม่ทราบแน่ชัดว่าปัญหานี้มีมากแค่ไหนฉันจะต้องคิดให้มากขึ้น จริง ๆ แล้วฉันอาจจินตนาการว่ามันค่อนข้างง่ายที่จะอ่าน HTT เพื่อให้เป็นไปตามระบบที่เป็นทางการนี้ Shulman กล่าวว่าด้วยข้อแม้นี้สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทของ adjoint functor ได้และตามที่ Lurie กล่าวไว้ในคำตอบของเขาข้อโต้แย้งใน HTT มีความซับซ้อนเชิงทฤษฎีที่คล้ายคลึงกัน อย่างไรก็ตามฉันยังคงสนใจที่จะตัดสินว่าคำตอบของคำถามคือ "ใช่ตามที่เขียนไว้" หรือ "น่าจะใช่ แต่คุณต้องใช้ความพยายาม" หรือที่จริงแล้ว "ไม่จริง" (ฉันหวังเป็นอย่างยิ่งว่าผู้เชี่ยวชาญจะสามารถตกลงกันได้คร่าวๆว่าคำตอบอยู่ตรงไหนของสเปกตรัมนี้)
ข้อสังเกตสุดท้าย: เราอาจพบข้อสันนิษฐาน "นับไม่ได้" ที่อยู่เหนือข้อสันนิษฐานเล็กน้อย ทำไมไม่อนุญาตให้มีสหภาพแรงงานที่ใหญ่กว่าเล็กน้อย? วิธีหนึ่งในการดูแลเรื่องนี้คือการเพิ่มสัญลักษณ์$\kappa_{-1}$ ด้วยคุณสมบัติเดียวกันและถามแทนว่า cofinality ของ $\kappa_0$ มีขนาดใหญ่กว่า $\kappa_{-1}$. ในทำนองเดียวกันอาจต้องการแทนที่ขอบเขต$\mathrm{cf} \kappa_1>\kappa_0$ โดยการผูกที่แข็งแกร่งขึ้นเล็กน้อยเช่น $\mathrm{cf} \kappa_1>2^{\kappa_0}$พูด. อีกครั้งถ้ามันทำให้สิ่งต่างๆง่ายขึ้นก็สามารถบีบอีกอันได้$\kappa_{1/2}$ ในระหว่างนั้น $\mathrm{cf} \kappa_{1/2}>\kappa_0$ และ $\mathrm{cf} \kappa_1>\kappa_{1/2}$. วิธีนี้เราไม่ต้องกังวลว่าวัตถุ "มาตรฐาน" ใด ๆ ที่ปรากฏในหลักฐานบางชิ้นจะมีขนาดที่นับได้หรือไม่$V_{\kappa_1}$ เมื่อชุดดัชนีไม่ตรงกับขนาดที่ล้อมรอบ $\kappa_0$ แต่ได้รับการปรับแต่งเล็กน้อย
PS: ตอนนี้ฉันกำลังค้นหาคำถามและคำตอบของ MO ก่อนหน้าทั้งหมดที่เกี่ยวข้องเท่านั้น บางคนที่มีความเกี่ยวข้องมากเป็นคำตอบของโจเอล Hamkins' ที่นี่และที่นี่
คำตอบ
ฉันจะออกไปข้างนอกและแนะนำว่าหนังสือ HTT ไม่เคยใช้อะไรที่แรงไปกว่าการทดแทน $\Sigma_{15}$- สูตรของทฤษฎีเซต (ที่นี่$15$ เป็นจำนวนมากที่สุ่มเลือกและ HTT เป็นหนังสือคณิตศาสตร์ที่เลือกแบบสุ่มซึ่งไม่ได้เจาะจงเกี่ยวกับทฤษฎีเซต)
เมื่อพิจารณาถึงความคิดเห็นของ Gabe ในคำตอบเดิมของฉันตอนนี้ฉันคิดว่าสิ่งที่ฉันเขียนนั้นทำให้เข้าใจผิดเพราะมันรวมการยืนยันสองข้อแยกกัน (แต่เกี่ยวข้องกัน):
การดำรงอยู่ของพระคาร์ดินัลที่ไม่สามารถเข้าถึงได้อย่างยิ่งนั้นไม่จำเป็นจริงๆในทฤษฎีหมวดหมู่
ความแข็งแกร่งเต็มรูปแบบของ ZFC ไม่จำเป็นในทฤษฎีหมวดหมู่
ฉันเห็นด้วยกับข้อความทั้งสองนี้ แต่คิดว่าวิธีที่ดีที่สุดในการโน้มน้าวคนจาก 1) จะไม่รวม 2) เข้ากับหลักการไตร่ตรองนั่นคือเราไม่ควรพยายามแทนที่การใช้พระคาร์ดินัลที่เข้าถึงไม่ได้อย่างยิ่ง $\kappa$ โดยหนึ่งซึ่ง $V_{\kappa}$ เป็นโมเดลส่วนใหญ่ของ ZFC
อย่างที่ฉันเห็น "ปัญหา" ที่จักรวาลแก้ไขได้คือการปรับการใช้เหตุผลสองประเภทรวมกัน:
A) บางครั้งก็มีประโยชน์ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับหมวดหมู่ย่อย ๆ $\mathcal{C}$ โดยการฝังไว้ในหมวดหมู่ "ใหญ่" (ตัวอย่างเช่นการใช้การฝัง Yoneda) ซึ่งมีคุณสมบัติเพิ่มเติมที่ดีเช่นการมีอยู่ของขีด จำกัด และการ จำกัด
B) หมวดหมู่ใหญ่เป็นหมวดหมู่ด้วยดังนั้นทฤษฎีบทใด ๆ ที่ใช้กับหมวดหมู่โดยทั่วไปควรใช้กับหมวดหมู่ใหญ่ด้วย
หากคุณกังวลเฉพาะเกี่ยวกับ B) หลักการสะท้อนกลับอาจมีความเกี่ยวข้อง การเลือกพระคาร์ดินัล$\kappa$ ดังนั้น $V_{\kappa}$ ตอบสนองความต้องการของ ZFC จำนวนมากคุณสามารถกำหนด "หมวดหมู่ขนาดเล็ก" ใหม่ให้เป็น "หมวดหมู่" ที่เป็นของ $V_{\kappa}$"และ" หมวดหมู่ใหญ่ "หมายถึง" หมวดหมู่ไม่จำเป็นต้องเป็นของ $V_{\kappa}$"และคุณมั่นใจได้ว่าทฤษฎีบทพื้นฐานทั้งหมดที่คุณอาจต้องการนั้นถูกต้องในทั้งสองกรณี
แต่ถ้าคุณกังวลเกี่ยวกับ A) สิ่งนี้ก็ไม่จำเป็นต้องมีประโยชน์ สมมติว่าคุณเริ่มต้นด้วยหมวดหมู่$\mathcal{C}$ เป็นของ $V_{\kappa}$และคุณต้องการการฝัง Yoneda บางเวอร์ชัน การคาดเดาตามธรรมชาติคือการฝังลงในหมวดหมู่ของ functors จาก$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ ไปยังหมวดหมู่ของชุดขนาด $<\tau$ (หรือแบบจำลองที่เทียบเท่ากัน) สำหรับพระคาร์ดินัลบางตัว $\tau$. ข้อแรกคือคุณควรใช้$\tau = \kappa$แต่ฉันคิดว่าแค่นี้ก็สมเหตุสมผลแล้ว $\kappa$ไม่สามารถเข้าถึงได้อย่างมาก (มิฉะนั้นชุด Hom บางชุดจะใหญ่เกินไป) ไม่ว่าในกรณีใด ๆ รับประกันได้ว่าสิ่งก่อสร้างนี้มีคุณสมบัติที่ดีคุณจะต้องต้องการคุณสมบัติที่แตกต่างกันของพระคาร์ดินัล$\tau$. ตัวอย่างเช่นหากคุณต้องการให้พรีเซฟประเภทนี้มีโคลิมิตจำนวนมากคุณก็จะต้องการ$\tau$ที่จะมี cofinality ขนาดใหญ่ และถ้าคุณเริ่มคิดเกี่ยวกับประเภทของสมมติฐานเพิ่มเติมที่คุณอาจต้องตั้งขึ้นคุณก็กลับมาที่จุดเริ่มต้นของคุณ: การคิดเกี่ยวกับการประมาณการคาร์ดินาลลิตี้แบบใดที่รับประกันได้ว่า$< \tau$"เป็นการประมาณที่ดีสำหรับหมวดหมู่ของเซตพรีซีฟทั้งหมดดังนั้นหลักการไตร่ตรองจึงไม่ได้ช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงปัญหาเหล่านั้นได้จริงๆ
(แก้ไข: ฉันรู้หลังจากเขียนว่าข้อความด้านล่างส่วนใหญ่เป็นการย้ำโพสต์ต้นฉบับของ Peter แต่ฉันจะปล่อยไว้ที่นี่เผื่อว่าใครจะเห็นว่ามีประโยชน์)
หากคุณต้องการการทำให้เป็นทางการอย่างเข้มงวดในบางสิ่งเช่น ZFC สิ่งที่ดีที่สุดที่ควรทำคือการแยกหมวดหมู่ใหญ่ ๆ ออกไปโดยสิ้นเชิง ดังนั้น B) ไม่ใช่ปัญหา เพื่อจัดการกับ A) ให้ฉันสังเกตว่าหมวดหมู่ "ใหญ่" หลายหมวดหมู่ที่เราอยากพูดถึงเกิดขึ้นในลักษณะเฉพาะ: หมวดหนึ่งเริ่มต้นด้วยหมวดหมู่เล็ก ๆ$\mathcal{C}$ ซึ่งมี colimits บางประเภทอยู่แล้วและขยายใหญ่ขึ้นอย่างเป็นทางการ $\mathcal{C}$ เพื่อสร้างหมวดหมู่ที่ใหญ่ขึ้น $\mathcal{C}^{+}$ซึ่งมีการพูดตามอำเภอใจ (โดยไม่ต้องเปลี่ยนสิ่งที่คุณเริ่มต้นด้วย) หมวดหมู่ที่เกิดขึ้นในลักษณะนี้เรียกว่าเรียบร้อยในท้องถิ่นและมีสูตรง่ายๆสำหรับ$\mathcal{C}^{+}$: เป็นหมวดหมู่ของ functors $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathrm{Set}$ ซึ่งรักษาขีด จำกัด ที่คุณเริ่มต้นด้วย (นั่นคือ colimits ที่คุณเริ่มต้นด้วย $\mathcal{C}$).
ตอนนี้ถ้าคุณต้องการเลียนแบบสิ่งนี้ในโลกของหมวดหมู่ย่อย ๆ คุณสามารถเลือกพระคาร์ดินัลแทนได้ $\kappa$ และพิจารณาเรื่องสนุก ๆ แทน $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \rightarrow \{ \text{Sets of size < $\ kappa$} \}$ซึ่งเทียบเท่ากับหมวดหมู่ขนาดเล็ก $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$. คำถามที่คุณพบคือสิ่งนี้สามารถทดแทนหมวดหมู่ใหญ่ได้ดีเพียงพอหรือไม่$\mathcal{C}^{+}$ข้างบน. ตัวอย่างเช่นมันมีข้อ จำกัด และ colimits มากมายหรือไม่? เป็นเรื่องไม่สมควรที่จะขอให้มีการพูดคุยกันทั้งหมดแต่คุณสามารถถามสิ่งต่อไปนี้แทน:
ถาม) เป็นหมวดหมู่ $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$ มีการจัดทำดัชนี colimits โดยไดอะแกรมขนาด $< \kappa$เหรอ?
คำตอบของ Q) คือ "ไม่โดยทั่วไป แต่ใช่ถ้า $\kappa$ ถูกเลือกอย่างดี "ตัวอย่างเช่นหากคุณมีพระคาร์ดินัลที่ไม่มีที่สิ้นสุด $\lambda$ ขอบเขตขนาดของ $\mathcal{C}$ และจำนวนไดอะแกรม colimit ที่คุณเริ่มต้นฉันเชื่อว่าคุณสามารถรับประกัน (i) ได้โดยการ $\kappa = (2^{\lambda})^{+}$ (และหมวดหมู่ $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$สามารถโดดเด่นด้วยคุณสมบัติสากลที่คาดหวัง) ยิ่งไปกว่านั้นเพื่อพิสูจน์สิ่งนี้คุณไม่จำเป็นต้องมีรูปแบบการทดแทนใด ๆ
ตอนนี้คุณสามารถถามสิ่งต่อไปนี้:
Q ') เป็นหมวดหมู่ $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$ มีขีด จำกัด ที่จัดทำดัชนีตามขนาดของไดอะแกรม $< \kappa$เหรอ?
ที่นี่คำตอบมักจะเป็น "ไม่" เว้นแต่ $\kappa$ไม่สามารถเข้าถึงได้อย่างมาก แต่ถ้าคุณสนใจเฉพาะขีด จำกัด ของประเภทใดประเภทหนึ่ง (เช่นหากคุณกำลังศึกษา Grothendieck topoi คุณอาจสนใจเรื่องขีด จำกัด จำกัด เป็นพิเศษ) คำตอบจะกลับมาอีกครั้ง "ใช่สำหรับ$\kappa$ เลือกอย่างดี "และนี่คือสิ่งที่คุณสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ ZFC เพียงเล็กน้อย
ตอนนี้คำกล่าวอ้างของฉันคือจากประสบการณ์ของฉันการสนทนาข้างต้นเป็นตัวแทนของคำถามประเภทที่คุณจะต้องพยายามค้นหาความแตกต่างระหว่างหมวดหมู่ "เล็ก" และ "ใหญ่" (แน่นอนว่ามันเป็นตัวแทนของสิ่งเหล่านี้ ขึ้นมาในหนังสือของฉันซึ่งคำถามเดิมถามถึง) ในทางปฏิบัติคุณไม่จำเป็นต้องพูดคุยเกี่ยวกับความสมบูรณ์ของหมวดหมู่ขนาดใหญ่เช่น$\mathcal{C}^{+}$; มันเพียงพอที่จะสร้างชิ้นส่วนที่ใหญ่พอ (เช่น$\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$) มีคุณสมบัติที่คุณต้องการดูซึ่งคุณสามารถจัดเรียงได้โดยเลือก $\kappa$ อย่างระมัดระวัง.
ฉันคิดว่ามันชัดเจนในแนวความคิดที่จะเพิกเฉยต่อประเด็นที่ว่าสิ่งต่าง ๆ ถูกทำให้เป็นทางการใน ZFC และพูดถึงสิ่งต่างๆในหมวดหมู่ "ใหญ่" ได้อย่างไร $\mathcal{C}^{+}$โดยอ้างถึงการประมาณ "เล็ก ๆ " $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$เป็นเพียงตัวช่วยในการพิสูจน์เท่านั้น (ซึ่งจะยังคงปรากฏอยู่ที่ไหนสักแห่งอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้!) การเรียก "จักรวาล" เป็นเพียงวิธีการเขียนเช่นนี้ในขณะที่ยังคงจ่ายค่าบริการริมฝีปากให้กับกรอบความจริงของ ZFC และไม่จำเป็นอย่างแน่นอน
ฉันอยากจะพูดถึงบางสิ่งที่ฉันคิดว่ายังไม่ได้รับการชี้ให้เห็น คำถามเดิมเริ่มด้วย
ในภาษาเซต - ทฤษฏีคำหนึ่งจะแก้ไขคาร์ดินัลที่ไม่สามารถเข้าถึงได้อย่างรุนแรง $\kappa$... นี่ส่อว่าเวที $𝑉_\kappa\subset 𝑉$ ของ "ชุดขนาด $<\kappa$"เป็นรูปแบบของ ZFC
อย่างไรก็ตามคำพูดที่ว่า $V_\kappa$ เป็นแบบจำลองของ ZFC อ่อนแอกว่าที่พูดอย่างนั้นมาก $\kappa$ไม่สามารถเข้าถึงได้ ในความเป็นจริงถ้า$\kappa$ ไม่สามารถเข้าถึงได้แล้ว $\{ \lambda\mid V_\lambda$ เป็นรูปแบบของ ZFC $\}$ อยู่นิ่งใน $\kappa$. ดังนั้นสิ่งที่เล็กที่สุดที่ไม่สามารถเข้าถึงได้ (ถ้ามี) นั้นใหญ่กว่าสิ่งที่เล็กที่สุดมาก$\kappa$ ดังนั้น $V_\kappa$ รุ่น ZFC.
ตราบเท่าที่หลักการสะท้อนกลับมีประโยชน์ (ซึ่งอย่างน้อยก็มีคำตอบอื่น ๆ บางคำที่ชี้ให้เห็นอย่างน้อยหนึ่งคำถาม) มันเป็นประโยชน์โดยตรงสำหรับข้อโต้แย้งที่คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องของจักรวาล Grothendieck เป็นแบบจำลองของ ZFC อย่างไรก็ตามอย่างน้อยเมื่อกำหนดสูตรอย่างไร้เดียงสามีหลายสถานที่ที่ทฤษฎีหมวดหมู่ใช้มากกว่านี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าจักรวาล Grothendieck ตอบสนองการแทนที่ลำดับที่สองซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันใด ๆ$f:A\to V_\kappa$, ที่ไหน $A \in V_\kappa$มีภาพ พูดว่า$V_\kappa$รุ่น ZFC บอกเป็นนัยว่าเป็นไปตามการทดแทนลำดับที่หนึ่งเท่านั้นซึ่งช่วยให้เราสามารถสรุปได้ว่าไฟล์$f$ มีภาพถ้า $f$ สามารถกำหนดได้จาก $V_\kappa$ ด้วยสูตรตรรกะ
ฉันเชื่อว่าการแทนที่ลำดับที่สองนั้นแพร่หลายในทฤษฎีหมวดหมู่ตามจักรวาลตามที่กำหนดไว้โดยทั่วไป ตัวอย่างเช่นถ้า${\rm Set}_\kappa$ หมายถึงหมวดหมู่ของชุดใน $V_\kappa$แล้วเพื่อพิสูจน์ว่า ${\rm Set}_\kappa$ คือ "สมบูรณ์และสมบูรณ์" ในความหมายที่ไร้เดียงสาที่ยอมรับข้อ จำกัด และกำหนดให้ functor ใด ๆ ที่มีโดเมนเล็กเราจำเป็นต้องเปลี่ยนลำดับที่สองเพื่อรวบรวมภาพของ functor ดังกล่าวให้เป็นชุดเดียว
ตอนนี้มีหลายวิธีในการปฏิรูปทฤษฎีหมวดหมู่เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้ กระดาษของ McLarty ทำในรูปแบบ set-theoretic แนวทางที่สอดคล้องกันอย่างชัดเจนคือการแทนที่ "หมวดหมู่ขนาดใหญ่" ที่ไร้เดียงสา (หมายถึงหมวดหมู่ที่ชุดของวัตถุและสัณฐานอาจไม่อยู่ใน$V_\kappa$) ที่มีขนาดใหญ่ ${\rm Set}_\kappa$- ประเภทการจัดทำดัชนี แต่นี่เป็นการจัดรูปแบบใหม่ที่สำคัญกว่ามากในการดำเนินการด้วยมือ
ถ้าฉันเข้าใจถูกต้องแสดงว่าคุณอยู่ในรูปแบบคำสั่ง:
"หากมีการพิสูจน์บางสิ่งใน HTT โดยใช้จักรวาลก็สามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องมีสิ่งเหล่านี้โดย จำกัด ไว้ที่บางส่วน $V_\kappa$ สำหรับ $\kappa$ ใหญ่พอ"
คำตอบที่ชัดเจนสำหรับเรื่องนี้หากเราไม่มีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ HTT ก็คือจะไม่มีข้อความดังกล่าวหาก ZFC มีความสอดคล้องกัน
อันที่จริงเป็นไปได้ว่าการมีอยู่ของจักรวาลนั้นไม่สอดคล้องกัน (ในความเป็นจริงมันเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ว่ามันสอดคล้องกัน) และในสถานการณ์นั้นสิ่งใดก็สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้จักรวาลดังนั้นคำสั่งดังกล่าวจะบ่งบอกว่าทุกสิ่งสามารถพิสูจน์ได้ กล่าวคือ ZFC ไม่สอดคล้องกัน
ฉันค่อนข้างเลอะเทอะเล็กน้อยเกี่ยวกับสิ่งที่พิสูจน์ได้ในสิ่งอื่น ๆ แต่แนวคิดหลักอยู่ที่นั่น
แน่นอนว่าเรารู้สิ่งต่าง ๆ เกี่ยวกับ HTT และถ้าเราอ่านอย่างละเอียดเราสามารถวิเคราะห์ได้ว่ามันใช้จักรวาลที่ไหนและเห็นว่าในความเป็นจริงแล้วพวกมันสามารถแทนที่ด้วยโมเดลสกรรมกริยาของ ZC + ได้ถึง $\Sigma_{15}$- สูตรดังที่จาค็อบชี้ให้เห็น ในกรณีนั้นเนื่องจากมีโมเดลที่มีพฤติกรรมที่ดีเช่นนี้ (ของแบบฟอร์ม)$V_\kappa$สำหรับ $\kappa$เลือกได้ดี) นี่ไม่ใช่ปัญหา และสามารถเขียนHTT ใหม่ได้โดยไม่ต้องใช้จักรวาล - แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้หากไม่มีความรู้ว่ามีอะไรอยู่ใน HTT
"คุณธรรม" คือในคำถามทางทฤษฎีหมวดหมู่หลักส่วนใหญ่จักรวาลเป็นอุปกรณ์ที่ช่วยประหยัดเวลาและไม่ใช่ส่วนที่แท้จริงของคณิตศาสตร์
ทฤษฎีบทใด ๆ $T$ ของ $\mathsf{ZFC}$ ตามมาจากชุดย่อยที่ จำกัด ของสัจพจน์ของ $\mathsf{ZFC}$ หรือเพื่อให้สิ่งต่างๆเรียบง่ายจาก $\mathsf{ZFC}$ ที่รูปแบบสัจพจน์ของการแทนที่ถูก จำกัด ไว้ที่ $\Sigma_n$ predicates¹เรียกสิ่งนี้ $\mathsf{ZFC}_n$. ตอนนี้$\mathsf{ZFC}$และแม่นยำยิ่งขึ้น $\mathsf{ZFC}_{n+1}$พิสูจน์การมีอยู่ของพระคาร์ดินัลขนาดใหญ่โดยพลการ $\kappa$ขีด จำกัด ที่แข็งแกร่งของความเป็นคู่ที่นับไม่ได้เช่นนั้น $V_\kappa$ เป็นรูปแบบของ $\mathsf{ZFC}_n$และโดยเฉพาะอย่างยิ่งของทฤษฎีบท $T$และยิ่งไปกว่านั้นค่าความจริงของใด ๆ $\Sigma_n$ คำสั่งพร้อมพารามิเตอร์ใน $V_\kappa$ ก็เหมือนกันใน $V_\kappa$เช่นเดียวกับในจักรวาล (จริง) เราสามารถเรียกสิ่งเหล่านี้ได้$V_\kappa$ "จักรวาลที่ จำกัด " เนื่องจากถูกปิดภายใต้การดำเนินการตามทฤษฎีส่วนใหญ่เช่นการใช้พาวเวอร์เซ็ตยกเว้นว่าการเปลี่ยนจะต้องนับได้ (รวมไว้เพื่อความสะดวก) หรือ จำกัด ไว้ที่ $\Sigma_n$เพรดิเคต; และโดยเฉพาะอย่างยิ่งพวกเขาถูกปิดภายใต้ข้อความการดำรงอยู่ใด ๆ$T$ ทำให้
ดังนั้นแนวคิดที่จะนำข้างต้นไปใช้กับการเชื่อมต่อ $T$ ของทฤษฎีทั้งหมดที่คุณคิดว่าเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีทอปโทสที่สูงขึ้น (และทฤษฎีอื่นใดที่ใช้เป็นข้อกำหนดเบื้องต้น) และค้นหาความเหมาะสม $n$. (ฉันสงสัยอย่างนั้นจริงๆ$n=1$ ควรจะเพียงพอ: ฉันจะประหลาดใจมากที่พบตัวอย่างของการแทนที่ในคณิตศาสตร์ธรรมดาซึ่งไม่เป็นไปตาม $\Sigma_1$-replacement.) จากนั้น $\mathsf{ZFC}_n$ จะพิสูจน์ $T$ (ทฤษฎีทั้งหมดของทฤษฎี) และ $\mathsf{ZFC}_{n+1}$ จะพิสูจน์การมีอยู่ของจักรวาลอัน จำกัด ที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งจะใช้ทฤษฎีนี้
แน่นอนเพื่อหลีกเลี่ยงการวนซ้ำที่ไม่มีที่สิ้นสุดคุณไม่สามารถพิจารณาทฤษฎีบทนั้นได้ (สิ่งที่ยืนยันการมีอยู่ของอุปทานที่ไม่มีที่สิ้นสุดของ$V_\kappa$) เพื่อเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีหรือคุณต้องย้ายไปที่ไฟล์ $n$.
เพื่ออธิบายสิ่งที่อาจดูเหมือนความขัดแย้งทางตรรกะที่นี่จะต้องชี้แจงว่าคำแถลงว่าการมีอยู่ของแบบจำลองจำนวนมาก $\mathsf{ZFC}_n$ สามารถพิสูจน์ได้ $\mathsf{ZFC}$ สำหรับทุกๆ $n$แต่ไม่เท่ากัน (การพิสูจน์จะยาวขึ้นและนานขึ้นเช่นเดียวกับ $n$ เติบโต) ดังนั้น $n$ต้องเป็นจำนวนธรรมชาติที่เป็นรูปธรรมซึ่งเป็นจำนวนสากล (over $n$) ไม่สามารถพิสูจน์คำสั่งได้ใน$\mathsf{ZFC}$. แต่นี่ไม่ใช่ปัญหาตราบใดที่ทฤษฎีของคุณได้รับการแก้ไขและกำหนดรูปแบบ$\mathsf{ZFC}$ (ซึ่งเรียกร้องว่าไม่มีตัวมันเองมี metatheorems เป็น "สำหรับคอนกรีตใด ๆ $n$ เราสามารถพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้ได้ใน $\mathsf{ZFC}$”). ดังนั้นจึงขึ้นอยู่กับคุณที่จะตรวจสอบให้แน่ใจว่านี่เป็นกรณีของ HTT (และหากคุณกล้าพอให้ค้นหาสิ่งที่เหมาะสม$n$).
(เพื่อให้เข้าใจว่าประเภทของพระคาร์ดินัลเกี่ยวข้องกับพระคาร์ดินัลอย่างไร $\kappa$ ดังนั้น $V_\kappa$ เป็นรูปแบบของ $\mathsf{ZFC}_1$ คือจุดคงที่ของ $\gamma \mapsto \beth_\gamma$ฟังก์ชัน ฉันไม่คิดว่าจะมีความหวังสำหรับคำอธิบายที่สมเหตุสมผลของไฟล์$\kappa$ ดังนั้น $V_\kappa$ เป็นรูปแบบของ $\mathsf{ZFC}_n$ สำหรับคอนกรีตใด ๆ $n\geq 2$. ดูคำถามนี้ด้วย)
- หมายถึงเพรดิเคตที่มีมากที่สุด $n$ การสลับชุดของตัวระบุปริมาณที่ไม่ถูกผูกไว้โดยเริ่มต้นด้วยตัวระบุปริมาณที่มีอยู่จริงตามด้วยสูตรที่มีตัวระบุจำนวนที่มีขอบเขต (ความหมายของรูปแบบ $\forall x\in y$ หรือ $\exists x\in y$).
ตกลงฉันใช้เวลาส่วนใหญ่ในวันนี้ในการพยายามหาสิ่งนี้โดยดูรายละเอียดบางอย่างที่ HTT นั่งรถมาพอสมควร ฉันได้เปลี่ยนมุมมองของฉันหลายครั้งในกระบวนการนี้ ตอนนี้ฉันดูเหมือนว่าคำตอบคือ HTT ตามที่เขียนไว้สามารถอ่านได้ในระบบที่เป็นทางการนี้ (นี่ก็เหมือนในเรื่องตลกที่เมื่อเวลาผ่านไปมีคนพูดว่า "ใช่มันชัดเจน" มีหลายประเด็นที่ต้องเลือกการตีความที่ถูกต้อง แต่เช่นเดียวกับในข้อความทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ก็เป็นเช่นนั้นอยู่แล้ว) ด้วยคำตอบนี้ฉันต้องการเพิ่มข้อโต้แย้งว่า HTT สามารถอ่านได้ในระบบที่เป็นทางการนี้โดยพยายามอธิบายเล็กน้อยว่าจะตีความบางสิ่งบางอย่างอย่างไรในกรณีที่ความคลุมเครืออาจเกิดขึ้นและทำไมฉันถึงคิดว่าการอ่านด้วยวิธีนี้ทุกอย่างควรได้ผล แต่มีโอกาสพอสมควรที่ฉันจะมองข้ามสิ่งที่สำคัญไปดังนั้นโปรดแก้ไขฉัน
ตามที่ Tim Campion บันทึกไว้สิ่งแรก ๆ ส่วนใหญ่ทำงานได้โดยไม่มีปัญหา - อันที่จริงมันไม่ได้พูดถึงจักรวาลด้วยซ้ำ ตราบใดที่ไม่เป็นเช่นนั้นทุกอย่างก็ใช้ได้$V_{\kappa_0}$ใน $V_{\kappa_1}$, และใน $V$และโครงร่างสัจพจน์ที่กำหนดยังรับประกันได้ว่าสิ่งปลูกสร้างใด ๆ ที่สร้างขึ้นจะเข้ากันได้
เราต้องให้ความสนใจมากขึ้นเมื่อถึงบทที่ 5 และ 6 ให้ฉันพยายามนำเสนอคำจำกัดความและข้อเสนอจากบทเหล่านี้จากมุมมองที่แตกต่างกันสามมุมมอง
มุมมอง ZFC แบบคลาสสิกหรือ (อย่างเสมอภาค) หนึ่งในทฤษฎี von Neumann - Bernays - Gödel (NBG) ซึ่งอนุญาตให้เรียนนอกเหนือจากชุดดังนั้นเราจึงสามารถพูดถึงหมวดหมู่ (ขนาดชั้นเรียน) ของทุกชุดได้ $\mathrm{Set}$.
มุมมองของ HTT ซึ่งเป็นจักรวาล ZFC + Grothendieck
มุมมองของทฤษฎีเซตของ Feferman ในแบบฟอร์มที่ระบุไว้ในคำถาม (อันที่จริงฉันไม่แน่ใจอีกต่อไปว่าฉันต้องการขอบเขตความเป็นมิตรร่วมกันเหล่านี้จริงๆหรือไม่ แต่ก็น่ายินดีที่ทราบว่าสามารถสันนิษฐานได้)
โปรดทราบว่าคำถามที่ถามนั้นสันนิษฐานว่าคนหนึ่งสนใจในมุมมองแรกอย่างแท้จริงและในคำถามอื่น ๆ ก็จะมีเพียงแค่ความสะดวกในการพิสูจน์บางอย่างเกี่ยวกับการตั้งค่าครั้งแรก สิ่งนี้สอดคล้องกับเนื้อหาของบทที่ 5 และ 6: ทฤษฎีทั้งหมดของหมวดหมู่ที่นำเสนอได้เข้ากันได้ดีกับการตั้งค่าแรกและในเชิงปรัชญาด้วย
ตกลงโปรดจำไว้ว่าหมวดหมู่ที่นำเสนอได้ - ขอให้ฉันยึดติดกับหมวดหมู่แทนที่จะเป็น $\infty$- หมวดหมู่ความแตกต่างไม่จำเป็นสำหรับข้อกังวลของเรา - เป็นหมวดหมู่ (ขนาดชั้นเรียน) $C$ ที่ยอมรับ colimits เล็ก ๆ ทั้งหมดและเช่นนั้นสำหรับพระคาร์ดินัลปกติบางคน $\kappa$มีบางหมวดหมู่ขนาดเล็ก $C_0$ และความเท่าเทียมกัน $C\cong \mathrm{Ind}_{\kappa}(C_0)$,
กล่าวคือ $C$ ได้มาโดยการติดกันอย่างอิสระ $\kappa$- กรอง colimits เป็น $C_0$. (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,$C_0$ จำเป็นต้องเทียบเท่ากับหมวดหมู่ย่อยทั้งหมดของ $\kappa$- วัตถุขนาดเล็กของ $C$.) โดยเฉพาะอย่างยิ่งหมวดหมู่ที่แสดงได้จะถูกกำหนดโดยข้อมูลจำนวนเล็กน้อย นอกจากนี้ความคิดก็คือ$C$เป็นหมวดหมู่ของวัตถุทั้งหมดจริงๆ(ชุดกลุ่มอะไรก็ได้) มุมมองนี้ชัดเจนที่สุดใน 1) ในขณะที่ใน 2) และ 3) แนวคิดเรื่องความสามารถในการนำเสนอนั้นขึ้นอยู่กับจักรวาลอีกครั้งและทันใดนั้นพวกมันก็มีเพียงชุด / กลุ่มเล็ก ๆ อีกครั้ง / ... ; ขอฉันเรียกพวกเขาว่าเล็ก - เรียบร้อย โปรดทราบว่าความคิดนี้เหมาะสมทั้งใน 2) และ 3) และขึ้นอยู่กับเท่านั้น$V_{\kappa_0}$. จากนั้นหมวดหมู่ขนาดเล็กที่นำเสนอได้นั้นมีอยู่ในประเภทย่อยที่กำหนดได้โดยเฉพาะดังนั้นจึงมีชีวิตอยู่$\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})\subset V_{\kappa_0+1}$โดยที่การรวมนี้เป็นความเท่าเทียมกันใน 2) (แต่ไม่ใช่ใน 3))
ใน 2) มักจะกำหนดหมวดหมู่ขนาดเล็กที่นำเสนอได้เป็นหมวดหมู่ขนาดใหญ่พิเศษซึ่งเป็นแนวทางของ HTT แต่ที่นี่ฉันกำลังอ่านอยู่รู้สึกสับสนเล็กน้อย: ดูเหมือนจะมีสองแนวคิดของ functors$F: C\to D$: สิ่งที่กำหนดได้ใน $V_{\kappa_0}$, เทียบเท่า $F\in V_{\kappa_0+1}$ (กล่าวคือ $V_{\kappa_0+1}$ เป็นคลาสของ $V_{\kappa_0}$) หรือ functors ทั้งหมดใน $V_{\kappa_1}$. ดูเหมือนจะไม่ชัดเจนสำหรับฉันว่า functor ใด ๆ$F: C\to D$ ใน $V_{\kappa_1}$ อยู่ใน $V_{\kappa_0+1}$, เช่น $C$ และ $D$ พวกเขาอาศัยอยู่เท่านั้น $V_{\kappa_0+1}$. ความแตกต่างระหว่างแนวคิดทั้งสองนี้จะหายไปเมื่อหนึ่ง จำกัด เฉพาะ functors ที่สามารถเข้าถึงได้ซึ่งทั้งหมดนี้สามารถกำหนดได้ โปรดทราบว่า 1) กล่าวว่านี่เป็นแนวคิดแรกที่เราควรใส่ใจ! (ก่อนเขียนโพสต์นี้ฉันไม่ทราบถึงความแตกต่าง)
ใน 3) วิธีดำเนินการที่เหมาะสมคือการใช้มุมมองที่กำหนดโดย 1) ซึ่งก็คือ "$V_{\kappa_0}$- หมวดหมู่ที่กำหนดได้ "ดังนั้นพวกเขาจึงอยู่ใน $\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})\subset V_{\kappa_0+1}$. เราสามารถพิจารณาสิ่งเหล่านี้ได้อีกครั้ง$\kappa_1$- ประเภทเล็ก ๆ ตอนแรกฉันคิดว่าจะมีความแตกต่างอย่างมากระหว่างแนวทางของ 2) และ 3) แต่ที่จริงแล้วดูเหมือนว่าในทั้งสองกรณีจะมีแนวคิดที่แตกต่างกันสองแบบของ functors ซึ่งจะได้รับการกระทบยอดเมื่อหนึ่ง จำกัด เฉพาะ functors ที่สามารถเข้าถึงได้
หนึ่งในทฤษฎีบทหลักคือทฤษฎีบท adjoint functor: If $F: C\to D$เป็นตัวตลกของหมวดหมู่ที่เรียบร้อยซึ่งรักษา colimits ขนาดเล็กทั้งหมดจากนั้นก็ยอมรับการปรับแต่งที่ถูกต้อง ทฤษฎีบทนี้หมายถึงอะไร?
ใน 1) หมายความว่ามี functor $G: D\to C$ - ซึ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งหมายความว่าต้องสามารถกำหนดได้ด้วยสูตรเนื่องจากนี่คือสิ่งที่ functors ระหว่างหมวดหมู่ขนาดชั้นเรียน - ร่วมกับหน่วย (กำหนดได้!) และการแปลงคูนิทที่เป็นไปตามเงื่อนไขปกติ
ใน 2) หนึ่งเป็นเพียงเกี่ยวกับ $C$ และ $D$ มีขนาดเล็กเมื่อพิจารณาใน $V_{\kappa_1}$จากนั้นยืนยันการมีอยู่ของการปรับแต่งที่ถูกต้องที่นั่น หากไม่มีข้อมูลเพิ่มเติมสิ่งนี้ดูเหมือนจะไม่ได้ให้สิ่งที่เราต้องการในข้อ 1) โดยเบื้องต้น$G$(และการแปลงหน่วยและคูนิท) ทั้งหมดอยู่ในจักรวาลที่ใหญ่กว่า แต่ข้อมูลนี้สามารถหาได้จากการจดจำสิ่งนั้น$G$ สามารถเข้าถึงได้จริง (เป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีบท adjoint ที่ฉันละไว้ในที่ระบุไว้ข้างต้น แต่ควรรวมไว้ด้วย) ดังนั้นทุกอย่างจะถูกกำหนดในชุด
ใน 3) อีกครั้งต้องการไปที่ผลลัพธ์ของ 1) แต่สามารถลองทำเช่นนี้ได้ใน 2) โดยการพิสูจน์การมีอยู่ของข้อมูลดังกล่าวก่อนใน $V_{\kappa_1}$ แล้วพิสูจน์ความสามารถในการเข้าถึงจึงยอมให้ทุกสิ่งอยู่ในนั้น $\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})$.
ให้เราดูว่าสิ่งนี้มีบทบาทอย่างไรในช่วงต้น ๆ ในบทที่ 5 ที่ใช้จักรวาล
คำจำกัดความ 5.1.6.2: Let $C$เป็นหมวดหมู่ที่ยอมรับการพูดคุยเล็ก ๆ น้อย ๆ ทั้งหมด วัตถุ$X\in C$มีขนาดกะทัดรัดอย่างสมบูรณ์หาก functor$j_X: C\to \widehat{\mathrm{Set}}$ นำเสนอโดย $X$ รักษา colimits ขนาดเล็ก
ที่นี่ $\widehat{\mathrm{Set}}$ เป็นหมวดหมู่ (ใหญ่มาก) ของชุดใน $V_{\kappa_1}$. ให้เราตีความความหมายนี้ในระบบข้างต้น
ที่นี่ $C$เป็นหมวดหมู่ใด ๆ (อาจเป็นขนาดคลาส) โปรดทราบว่าโดยเฉพาะอย่างยิ่งใน HTT "ขนาดเล็กในพื้นที่" ไม่ใช่สมมติฐานมาตรฐานดังนั้นสิ่งนี้จึงทำให้แม้แต่รูปแบบระหว่างวัตถุสองชิ้นเป็นชุดที่เหมาะสม ด้วยเหตุนี้ functor จึงต้องไปที่$\widehat{\mathrm{Set}}$และนี่คือสิ่งที่เราไม่สามารถพูดถึงได้ในการตั้งค่านี้ ดังนั้นเราจะต้องจัดรูปแบบเงื่อนไขใหม่เพื่อตอบสนองการคัดค้านนี้ สิ่งนี้ไม่ควรยาก แต่อาจเป็นเรื่องที่น่ารังเกียจเล็กน้อย
ฉันคิดว่ามันเป็นนัยในคำจำกัดความที่ว่า $C$ คือหมวดหมู่ใด ๆ ที่อยู่ใน $V_{\kappa_1}$. นี่เป็นการจับภาพการตั้งค่า 1) ใน if นั้นอย่างเคร่งครัด$C$ มีขนาดเล็กที่กำหนดได้ว่ามาจาก 1) จากนั้นก็มีแผนภาพ colimit ขนาดเล็กใน $C$ มีขนาดเล็กโดยอัตโนมัติกำหนดได้
ที่นี่เรามีสองทางเลือก: ตัวเลือกจาก 1) หรือตัวเลือกจาก 2) และพวกเขาให้แนวคิดที่แตกต่างกัน ในกรณีที่มีความขัดแย้งมุมมองจาก 1) เป็นมุมมองที่ถูกต้องดังนั้น$C$มีขนาดเล็กที่กำหนดได้และคนหนึ่งขอการเปลี่ยนแปลงด้วยการกำหนดขนาดของไดอะแกรมขนาดเล็กที่กำหนดได้ แต่ในขณะที่ใน 1) เรามีปัญหาในการกำหนดเงื่อนไขจักรวาลที่อยู่ในมือ 3) หมายความว่าตอนนี้สามารถกำหนดเงื่อนไขได้: เราสามารถขอให้ใช้โคลิมิตขนาดเล็กที่กำหนดได้ใน$C$ เพื่อ colimits ใน $\widehat{\mathrm{Set}}$. ที่นี่$\widehat{\mathrm{Set}}$ เป็นชุดใน $V_{\kappa_1}$.
ดังนั้นในกรณีนี้ผลที่สุดคือเราต้องระวังนิดนึงใน 3) เกี่ยวกับการตีความ แต่แนะนำโดย 1) เราสามารถให้คำจำกัดความที่ถูกต้องได้ จากนั้นระบบจะช่วยได้จริง
โจทย์ 5.2.6.2: Let $C$ และ $D$เป็นหมวดหมู่ จากนั้นหมวดหมู่$\mathrm{Fun}^L(C,D)$ ของฟังก์ชั่นเสริมด้านซ้ายจาก $C$ ถึง $D$และ $\mathrm{Fun}^R(D,C)$ ของ functors adjoint ที่ถูกต้องจาก $D$ ถึง $C$ มี (ตามบัญญัติ) เทียบเท่ากัน
ในมุมมองนี้โจทย์นี้จะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อ $C$ และ $D$ มีขนาดเล็กอย่างอื่น $\mathrm{Fun}(C,D)$ใหญ่เกินไป (ใครอยากพิจารณาประเภท functor ดังกล่าวเมื่อ$C$ และ $D$แสดงได้ (หรือเข้าถึงได้) แต่เมื่อ จำกัด เฉพาะ functors ที่สามารถเข้าถึงได้เท่านั้น นั่นคือการอภิปรายที่จะปรากฏในบทที่ 5 ในภายหลัง) จากนั้นคำแถลงนั้นชัดเจนเพียงพอและข้อพิสูจน์ที่ระบุจะนำไปใช้
ในมุมมองนี้ฉันคิดว่ามันเหมือนกับข้อ 1) ยกเว้นว่าเราสามารถกำหนดผลลัพธ์เดียวกันในจักรวาลที่แตกต่างกันได้
เหมือนกันที่นี่
อย่างไรก็ตามโปรดสังเกตว่าใน 1) ประพจน์นี้ไม่สามารถ (ยัง) ใช้ในกรณีนี้ได้ $C$ และ $D$เรียบร้อย ใน 2) และ 3) (เล็ก -) ที่นำเสนอเป็นหมวดหมู่ขนาดใหญ่พิเศษซึ่งผลลัพธ์จะนำไปใช้ อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่าประเภท functor และความเท่าเทียมกันนั้นล้วนอาศัยอยู่ในจักรวาลที่ใหญ่กว่าและเราไม่ได้รับข้อมูลใด ๆ เลย$V_{\kappa_0+1}$ หรือ $\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})$.
โจทย์ต่อไปจะพิจารณาหมวด presheaf $\mathcal P(C)=\mathrm{Fun}(C^{\mathrm{op}},\mathrm{Set})$และการพิสูจน์นั้นเป็นข้อโต้แย้งทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับเนื้อเรื่องไปสู่จักรวาลที่ใหญ่ขึ้นเพื่อแก้ไขปัญหาการเชื่อมโยงกันของโฮโมโตปี
โจทย์ 5.2.6.3: Let $f: C\to C'$ เป็นตัวตลกระหว่างหมวดหมู่เล็ก ๆ และปล่อยให้ $G: \mathcal P(C')\to \mathcal P(C)$ เป็นผู้ชักนำให้เกิดหมวดหมู่ presheaf ที่เกิดจากองค์ประกอบด้วย $f$. แล้ว$G$ เหมาะสมกับ $\mathcal P(f)$.
ที่นี่ $\mathcal P(f)$ ถูกกำหนดให้เป็นส่วนขยายที่เก็บรักษา colimit ขนาดเล็กที่เป็นเอกลักษณ์ของ $f$ (ภายใต้การฝัง Yoneda)
ที่นี่เรามีหมวดหมู่ขนาดคลาสและ functors สองประเภทระหว่างกันซึ่งสามารถกำหนดได้ทั้งหมด (ตามที่ควรจะเป็น) โจทย์จะขอให้เราหาหน่วย (กำหนดได้!) และการแปลงคูนิททำให้ไดอะแกรมบางส่วนเดินทาง ดูเหมือนจะไม่ยากเกินไป แต่ใน$\infty$- หมวดหมู่มันเป็นเรื่องยากที่จะกำหนด functors ด้วยมือดังนั้นนี่ไม่ใช่วิธีที่ Lurie ดำเนินการจริงๆ!
ที่นี่ $\mathcal P(C)$ และ $\mathcal P(C')$เป็นหมวดหมู่ขนาดใหญ่พิเศษ ในความเป็นจริง Lurie ใช้การฝัง Yoneda ขนาดใหญ่ในการพิสูจน์ ดังนั้นนี่คือการสร้างหน่วยและส่วนเสริมของคูนิทในเอกภพที่ใหญ่กว่าเท่านั้น ตามที่กล่าวไว้ข้างต้นฉันคิดว่าข้อพิสูจน์นี้ไม่ได้ให้สิ่งที่เราต้องการในข้อ 1)!
เราสามารถโต้แย้งได้เช่นเดียวกับที่ Lurie สร้างข้อมูลใน "จักรวาล" ที่ใหญ่กว่า (แก้ไข: ตามจริงตามที่ Tim Campion ชี้ให้เห็นเราต้องอ้อมน้อยที่สุดเพื่อที่จะพิสูจน์สิ่งที่เขียนดูความคิดเห็นต่อคำตอบของเขา)
ดังนั้นเมื่ออ่านประพจน์นี้ไม่ว่าจะในระบบ 2) หรือ 3) เราควรสร้างเครื่องหมายทางจิตว่าจนถึงตอนนี้ข้อความที่พิสูจน์แล้วว่าอ่อนแอกว่าที่เราหวังไว้อย่างไร้เดียงสา แต่จะได้รับการแก้ไขในภายหลังโดยสังเกตว่าทุกอย่างถูกกำหนดโดยข้อมูลจำนวนเล็กน้อย
Upshot: ในตอนแรกฉันคิดว่าจะมีความแตกต่างอย่างมากระหว่าง 2) และ 3) แต่จริงๆแล้วฉันคิดว่ามัน (เกือบ) ไม่มีเลย ความแตกต่างอย่างหนึ่งก็คือ$\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})\subset V_{\kappa_0+1}$ เป็นการรวมที่เหมาะสม แต่ในทางปฏิบัติวิธีรับประกันการกักกัน $V_{\kappa_0+1}$ ดูเหมือนว่าจะพิสูจน์ความชัดเจนใน $V_{\kappa_0}$ (ตัวอย่างเช่นโดยการพิสูจน์ว่า functors บางตัวสามารถเข้าถึงได้)
ตกลงบอกฉันทีว่าทำไมถึงใช้ไม่ได้! :-)
การตอบคำถามนี้ขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณต้องการอย่างมากจากทฤษฎีทอปโทสที่สูงขึ้นเนื่องจากการแสดงความแข็งแรงเชิงตรรกะสูงเป็นเป้าหมายที่แตกต่างจากการแสดงกรอบตรรกะแบบรวมที่เหมาะสมสำหรับเรขาคณิตพีชคณิตและทฤษฎีจำนวน รากฐานที่แข็งแกร่งแบบรวมสำหรับคณิตศาสตร์หมวดหมู่ทั่วไปเป็นเป้าหมายที่ดีอย่างหนึ่งและดูเหมือนจะเป็นเป้าหมายของผู้มีส่วนร่วมหลายคนที่นี่ สำหรับเป้าหมายนั้นทุกสิ่งที่กล่าวในความคิดเห็นและคำตอบสำหรับคำถามนี้มีความเกี่ยวข้อง แต่งานที่ถนัดในเรขาคณิตและทฤษฎีจำนวนไม่ได้เรียกร้องให้มีความแข็งแรงเชิงตรรกะมากมาย
แม้ว่า HTT จะเชื่อมโยงกับจักรวาลมากกว่า SGA แต่ทั้ง HTT และ SGA ก็ไม่ได้ใช้ประโยชน์จากรูปแบบสัจพจน์ (ที่แข็งแกร่งมาก) ในการทดแทนอย่างแท้จริง ดังนั้นพวกเขาจึงสามารถใช้ "จักรวาล" ที่อ่อนแอกว่าของ Grothendieck อย่างสิ้นเชิง ในฐานะที่เป็นตัวอย่างทั่วไปและเป็นตัวอย่าง Grothendieck เขาได้ดึงดูดความสนใจเพียงครั้งเดียวต่อโครงการสัจพจน์ของการเปลี่ยน นั่นเป็นข้อพิสูจน์ที่สำคัญมากของเขาว่าทุกประเภท AB5 ที่มีชุดสร้างนั้นมีหัวฉีดเพียงพอ และการใช้สิ่งทดแทนนี้กลายเป็นสิ่งที่กำจัดไม่ได้ มันใช้งานได้จริง แต่ Grothendieck ไม่จำเป็นต้องใช้เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ของเขา
เพื่อขยายการใช้งานทดแทนของ Grothendieck: Reinhold Baer ในทศวรรษที่ 1940 ใช้การเหนี่ยวนำแบบไม่ จำกัด (ซึ่งต้องใช้รูปแบบการเปลี่ยนสัจพจน์) เพื่อพิสูจน์ว่าโมดูล (บนวงแหวนที่กำหนด) มีหัวฉีดเพียงพอ เขาสำรวจเทคนิคการพิสูจน์ใหม่อย่างมีสติและได้ผลลัพธ์ที่ดี Tohoku ของ Grothendieck แสดงหลักฐานในรูปแบบที่แสดงทุกหมวดหมู่ AB5 พร้อมกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้าขนาดเล็กที่มีหัวฉีดเพียงพอและไม่กี่ปีต่อมา Grothendieck พบว่านี่เป็นทฤษฎีบทที่เขาต้องการสำหรับ topos cohomology Baer และ Grothendieck ทั้งคู่มีเป้าหมายในทางปฏิบัติไม่ได้ผูกติดอยู่กับความกังวลของมูลนิธิ แต่ทั้งคู่ก็ต้องการที่จะได้รับรากฐานที่ถูกต้องเช่นกัน และพวกเขาก็ทำ แต่ปรากฎว่าพวกเขาสามารถได้รับทฤษฎีบทเดียวกันเหล่านั้นได้อย่างถูกต้องโดยไม่ต้องแทนที่ด้วยการพิสูจน์เดียวกันโดยการระบุชุดฟังก์ชันที่ใหญ่พอที่จะเริ่มต้นด้วย (โดยใช้ชุดพลังงาน แต่ไม่สามารถเปลี่ยนได้) มีผลลัพธ์ที่จำเป็นต้องมีโครงการสัจพจน์ทดแทนอย่างแท้จริง แต่ผลลัพธ์เหล่านั้นแทบจะไม่เกิดขึ้นนอกการวิจัยพื้นฐาน
ผู้คนจำนวนมากมาจากมุมที่แตกต่างกันมาก (นักตรรกะบางคนตรรกะที่ไม่ชอบ) ตั้งแต่ทศวรรษที่ 1960 ได้ตั้งข้อสังเกตว่าในบริบทของเรขาคณิตพีชคณิตและทฤษฎีจำนวนความแข็งแรงเชิงตรรกะที่สูงของสัจพจน์จักรวาลของ Grothendieck เป็นผลพลอยได้ที่ไม่ได้ใช้จริงของ ความปรารถนาของ Grothendieck สำหรับกรอบการทำงานร่วมกันสำหรับ cohomology ตอนนี้สามารถทำได้ค่อนข้างแม่นยำ: อุปกรณ์ Grothendieck ทั้งหมดรวมถึง cohomology functor ที่ไม่ได้มาจาก toposes เท่านั้น แต่ toposes 2 ประเภทและประเภทที่ได้รับสามารถทำให้เป็นทางการได้เกือบจะเหมือนกับที่ Grothendieck เป็นทางการ แต่ที่ ความแข็งแรงเชิงตรรกะต่ำกว่า Zermelo-Fraenkel หรือแม้แต่ทฤษฎีเซตของ Zermelo เช่นเดียวกับ HTT คุณสามารถรับมันได้โดยไม่ต้องมีจักรวาลหรือภาพสะท้อนที่ไม่สามารถเข้าถึงได้ ตราบเท่าที่คุณไม่ต้องการความแข็งแกร่งในการทดแทนที่กว้างใหญ่ (และไม่ค่อยได้ใช้) ยังไม่มีการพิสูจน์หลักฐานสำหรับ HTT จะได้รับสำหรับ Grothendieck ของการใช้ประโยชน์จากจักรวาล ดูเหมือนว่าจะใช้ได้กับ HTT เช่นเดียวกัน
ความแข็งแรงเชิงตรรกะที่จำเป็นได้รับการแสดงด้วยวิธีที่ไม่แตกต่างกัน: Simple Type Theory (with arithmetic), Finite Order Arithmetic, The Elementary Theory of the Category of Sets, Bounded Quantifier Zermelo set theory พูดอย่างคร่าวๆคือคุณวางชุดของตัวเลขธรรมชาติและคุณวางตัวว่าทุกชุดมีชุดกำลัง แต่คุณไม่ได้วางชุดกำลังซ้ำโดยไม่ถูกผูกมัด ทฤษฎีจักรวาลที่ไร้เดียงสาอย่างเป็นธรรมสามารถได้รับการอนุรักษ์นิยมเหนือสิ่งใดสิ่งหนึ่งเหล่านี้ (วิธีการตั้งทฤษฎีของ Godel-Bernays นั้นอนุรักษ์นิยมมากกว่า ZFC) และเพียงพอสำหรับอุปกรณ์โครงสร้างขนาดใหญ่ทั้งหมดของโรงเรียน Grothendieck
ฉันจะพิจารณาส่วนขยายแบบอนุรักษ์นิยมของ ZFC ที่ได้รับจาก ZFC โดยการสร้างค่าคงที่ $\alpha$ และสัจพจน์ต่อไปนี้:
$\alpha$ เป็นลำดับ ($Ord(\alpha)$).
ประโยค $\phi\leftrightarrow\phi^{V_\alpha}$สำหรับแต่ละประโยคในภาษาต้นฉบับ $\phi$ (โครงการสัจพจน์).
$V_{\alpha}$ ทำงานเป็น $V$(สำหรับประโยคทั้งหมดในภาษาของทฤษฎีเซต) หากต้องการสองจักรวาล (หรือมากกว่า) หนึ่งจักรวาลสามารถเพิ่มค่าคงที่ได้$\beta$ ด้วยสัจพจน์ที่สอดคล้องกันและสัจพจน์ $\alpha<\beta$.
การพิสูจน์ว่าทฤษฎีที่เกิดขึ้นนั้นอนุรักษ์นิยมมากกว่า ZFC นั้นเป็นเรื่องง่าย
สมมติว่า $\phi$ สามารถพิสูจน์ได้จากสัจพจน์ใหม่ (สัจพจน์โดยใช้ $\alpha$), ซึ่งใน $\phi$เป็นภาษาต้นฉบับ เนื่องจากข้อพิสูจน์ใด ๆ มีข้อ จำกัด จึงมีประโยคมากมาย$\phi_1$, ... , $\phi_n$ ดังนั้น
$Ord(\alpha)\wedge(\phi_1\leftrightarrow\phi_1^{V_{\alpha}})\wedge...\wedge(\phi_n\leftrightarrow\phi_n^{V_{\alpha}})\rightarrow \phi$
สามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องมีสัจพจน์ใหม่ ๆ ดังนั้นเราสามารถคิดได้$\alpha$เป็นตัวแปรอิสระและประโยคข้างต้นสามารถพิสูจน์ได้ใน ZFC (ทฤษฎีบทเกี่ยวกับค่าคงที่) ตั้งแต่$\alpha$ ไม่เกิดขึ้นใน $\phi$ความหมายต่อไปนี้สามารถพิสูจน์ได้ใน ZFC ($\exists$-บทนำ):
$\exists\alpha(Ord(\alpha)\wedge(\phi_1\leftrightarrow\phi_1^{V_{\alpha}})\wedge...\wedge(\phi_n\leftrightarrow\phi_n^{V_{\alpha}}))\rightarrow \phi$
ตอนนี้หลักการสะท้อนของ ZFC กล่าวว่าก่อนหน้านี้เป็นทฤษฎีบท ZFC จาก modus ponens ZFC พิสูจน์ได้$\phi$.
ดังนั้นคุณสามารถทำงานกับสัจพจน์ใหม่และ $V_{\alpha}$ ทำตัวเป็นจักรวาลและทุกสิ่งที่พิสูจน์แล้วว่าไม่ได้กล่าวถึง $\alpha$ สามารถพิสูจน์ได้แล้วใน ZFC
คำถามที่เกิดขึ้นในความคิดเห็นเกี่ยวกับแรงจูงใจในการถามคำถาม ให้ฉันลองพูดถึงตรงนี้
สำคัญที่สุดคือการเรียนรู้! ดังที่ฉันได้กล่าวไว้ในคำถามเดิมฉันได้เล่นกับขอบเขตที่สำคัญ "โง่ ๆ " และได้เรียนรู้เกี่ยวกับหลักการสะท้อนกลับในเวลาต่อมาดังนั้นฉันจึงอยากเข้าใจว่ามันทำอะไรได้บ้าง (และทำอะไรไม่ได้) และไม่ว่าฉันจะ สามารถยกเลิกการประมาณการดังกล่าวในเวอร์ชันที่ซับซ้อนเพิ่มเติมลงในเครื่องนี้โดยอัตโนมัติได้ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่คุณจะสะดุดในห้องมืดและอยากให้ห้องสว่างไสวเป็นอย่างมาก! ดังนั้นขอขอบคุณทุกท่านสำหรับคำตอบที่กระจ่างแจ้ง!
อีกเหตุผลหนึ่งก็คือเมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันรู้สึกหงุดหงิดเล็กน้อยกับการแก้ปัญหาของ Grothendieck ในเรื่องปัญหาที่อยู่ในมือ ให้ฉันอธิบาย
ฉันเป็นอย่างมากต้องการที่จะพูดคุยเกี่ยวกับประเภทของทุกชุดหรือทุกกลุ่ม ฯลฯ และต้องการที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมัน และอย่างน้อยที่สุดในทฤษฎี ZFC เวอร์ชัน von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) ที่อนุญาตให้เรียนได้นี่เป็นแนวคิดที่ถูกต้องอย่างสมบูรณ์ ดังนั้นฉันจึงพบว่ามันน่าพอใจมากที่จะทำงานในการตั้งค่านี้และอยากให้ทฤษฎีบท adjoint functor เป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับหมวดหมู่ (นำเสนอได้) ในแง่นั้น
ขณะนี้หมวดหมู่ที่นำเสนอได้ถูกกำหนดโดยข้อมูลจำนวนเล็กน้อยดังนั้นเราจึงสามารถทำงานกับข้อมูลจำนวนเล็กน้อยนี้ได้ตลอดเวลาและติดตามขนาดที่สัมพันธ์กันอย่างรอบคอบ ในความเป็นจริงการพิสูจน์หลายอย่างใน HTT จะติดตามขนาดสัมพัทธ์ดังกล่าวอย่างชัดเจน แต่ก็ยังมีบางจุดที่ควรใช้ "มุมมองที่กว้างขึ้น" ก่อนและดูหมวดหมู่ขนาดใหญ่เหล่านี้ราวกับว่ามีขนาดเล็ก
อันที่จริงทฤษฎีบท adjoint functor นั้นเกี่ยวกับ functors ระหว่างประเภทใหญ่ ๆ และมันกลายเป็นเรื่องน่ารังเกียจอย่างรวดเร็วที่จะพูดถึงเรื่องนี้จากภายใน NBG / ZFC โปรดทราบว่าคำแถลงของทฤษฎีบท adjoint มีความสมเหตุสมผล - เพียงแค่ขอให้ข้อมูลทั้งหมดของส่วนเสริมนั้นสามารถกำหนดได้ แต่มันเป็นเรื่องน่ารังเกียจที่จะพยายามพูดถึงสิ่งเหล่านี้จาก "ภายใน" ดังนั้นจึงเป็นการดีที่จะมีทฤษฎีเมตาบางประเภทที่ใช้โต้แย้งเกี่ยวกับหมวดหมู่ใหญ่ ๆ เหล่านี้และแสร้งทำเป็นว่ามีขนาดเล็ก คำถามที่ละเอียดอ่อนของ "ความชัดเจนจากภายใน" อาจเป็นเพียงพื้นฐานที่หายไปในทฤษฎีเมตาดาต้านี้ แต่ฉันถือว่าคำถาม "ความชัดเจนจากภายใน" นี้เป็นศูนย์กลางเพราะหลังจากนั้นสิ่งที่ฉันต้องการคือทฤษฎีบทเกี่ยวกับเซตทั้งหมดดังนั้นฉันจึง ' ดีที่ต้องใส่ใจกับเรื่องนี้สักหน่อย - และหากต้องการนำออกไปปรากฎว่านี่คือความแตกต่างอย่างชัดเจนระหว่างการทำงานกับจักรวาล Grothendieck และการทำงานกับ "จักรวาล" ของ Feferman
นี่คือสิ่งที่จักรวาล Grothendieck มีไว้สำหรับ: พวกมันมอบจักรวาลที่ใหญ่กว่าให้คุณสำหรับจักรวาลใด ๆ ที่คุณกำลังทำงานอยู่ฉันพบว่าการมีอยู่ของจักรวาล Grothendieck นั้นใช้งานง่ายอย่างสมบูรณ์และในความเป็นจริงแล้วการวางตัวของพวกมันดูเหมือนโดยสิ้นเชิงกับการวางตัว การตั้งค่าที่ไม่มีที่สิ้นสุดตั้งแต่แรก: คุณเพียงแค่อนุญาตให้รวบรวมทุกสิ่งที่คุณมีอยู่แล้วให้เป็นเอนทิตีที่ใหญ่กว่าของตัวเอง
แต่ตอนนี้สิ่งที่ฉันเคยคิดคือชุดทั้งหมดเรียกว่าชุดเล็กและยังมีชุดใหญ่อีกมากมาย ดังนั้นแม้ว่าผมจะพิสูจน์ทฤษฎีบท adjoint functor ในการตั้งค่านี้ก็ไม่ได้อีกต่อไปทฤษฎีบทเกี่ยวกับ functors ระหว่างหมวดหมู่ทั้งหมดชุด / กลุ่ม / ... แต่เพียงอย่างใดอย่างหนึ่งระหว่าง functors ขนาดเล็กชุด / กลุ่ม / .... ดังนั้นหากคุณ ลองคิดดูแม้ในจักรวาล ZFC + Grothendieck คุณจะไม่มีทางพิสูจน์ได้ว่าทฤษฎีบทที่คุณต้องการจริงๆเกี่ยวกับหมวดหมู่ของชุดทั้งหมด (อันที่จริงจนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้ฉันสันนิษฐานว่าทฤษฎีบท adjoint functor (สำหรับ$\infty$-categories) เป็นคำแถลงของ ZFC ที่ได้รับการพิสูจน์ภายใต้ "ZFC + Universes" แต่ก็ไม่ถูกต้องนัก: ข้อความที่ได้รับการพิสูจน์แล้วสามารถกำหนดได้ใน ZFC + Universes เท่านั้น)
สิ่งที่ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสอดคล้องกับที่ทฤษฎีบทของ adjoint functor ถือไว้ กล่าวคือสมมติว่า ZFC + Universes มีความสอดคล้องกันตอนนี้คุณได้สร้างแบบจำลองของ ZFC ซึ่งเป็นชุดเล็ก ๆในแบบจำลองของ ZFC + Universes ซึ่งทฤษฎีบทเป็นจริง เพื่อให้คุณได้ในขณะนี้การทำงานในทฤษฎี "ZFC + adjoint functor ทฤษฎีบท" ซึ่งใน functor adjoint ทฤษฎีบทสามารถนำไปใช้หมวดหมู่ของทุกชุด / กลุ่ม / ... แต่ที่แน่นอนรู้สึกเหมือนโกงให้ฉัน คุณไม่ได้พิสูจน์ด้วยซ้ำว่า "ZFC + Universes + the adjoint functor theorem" สอดคล้องกัน! (คุณจะได้รับสิ่งนั้นถ้าคุณเริ่มต้นด้วยความสอดคล้องของมากกว่า ZFC + Universes เล็กน้อยขอ$\kappa$ ดังนั้น $V_\kappa$ตรงตาม ZFC + Universes อีกครั้งดูเหมือนว่าเป็นข้อสันนิษฐานที่ยุติธรรมสำหรับฉัน - เพียงแค่ทำต่อไป) แต่ตอนนี้คุณอาจได้เห็นอันตรายที่คุณปีนขึ้นบันไดความสอดคล้องโดยไม่ได้ตั้งใจในขณะที่คุณเริ่มเรียกใช้ทฤษฎีมากขึ้นเรื่อย ๆ ที่พิสูจน์แล้วสำหรับชุดเล็ก ๆด้วย สำหรับทุกชุด
มันจะดีกว่ามากถ้าคุณรู้ว่าในจักรวาล ZFC + Grothendieck ทุกสิ่งที่คุณพิสูจน์เกี่ยวกับชุดเล็ก ๆ ก็เป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับหมวดหมู่แวดล้อมทั้งหมดของทุกชุด นี่ไม่ใช่แบบอัตโนมัติ แต่คุณสามารถเพิ่มสิ่งนี้เป็นสคีมาสัจพจน์ได้ Mike Shulman ในหัวข้อที่ 12 ของทฤษฎี Set สำหรับทฤษฎีหมวดหมู่ (arXiv: 0810.1279) กล่าวถึงแนวคิดนี้ (ซึ่งเขาหมายถึง ZMC): ฉันคิดว่ามันค่อนข้างน่าพอใจในทางธรรมดูเหมือนว่าจะมี axiomatization ที่ง่ายมาก (ง่ายกว่า ZFC ด้วยซ้ำ!) แต่
ก) แบบแผนความจริงเพิ่มเติมนี้ไม่ชัดเจนในตัวเองสำหรับฉัน: เหตุใดทุกสิ่งที่เป็นจริงในชุดเล็ก ๆจึงควรมีไว้สำหรับทุกชุดด้วย? (โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าเรามีปัญหาบางอย่างที่พิสูจน์ผลลัพธ์ที่ต้องการในสถานที่แรกนอกจากนี้ทราบว่าแน่นอนมันไม่. ไม่ควรถือเพื่อการใด ๆความคิดของชุดเล็ก: แต่การค้ำประกันความจริงเค้าร่างว่ามีบางความคิดของชุดเล็ก ๆ ที่เรียงนี้ ของการสะท้อนกลับตอนนี้สิ่งนี้ดูน่าสงสัยสำหรับฉันเล็กน้อยเพราะในตอนแรกฉันไม่เคยต้องการฉากเล็ก ๆ ตอนนี้ฉันกำลังโพสท่าพวกเขาและขอให้พวกเขายังคงสะท้อนพฤติกรรมทั้งหมดของทุกฉากอาจจะดี แต่ไม่ใช่ ชัดเจนในตัวเองสำหรับฉัน)
b) ความสม่ำเสมอของโครงร่างสัจพจน์นี้สูงกว่ามาก: มันเหมือนกับความสอดคล้องของพระคาร์ดินัลมาห์โล สิ่งนี้ยังคงอยู่ในระดับต่ำเช่นเดียวกับพระคาร์ดินัลขนาดใหญ่ แต่ก็สูงกว่าเอกภพ Grothendieck มาก (ซึ่งต่ำมากที่ด้านล่างของลำดับชั้น)
เกี่ยวกับ a) ความจริงที่ว่าเราสามารถพิสูจน์ความสอดคล้องของทฤษฎีบท adjoint functor จากความสอดคล้องของจักรวาล Grothendieck ชี้ไปในทิศทางที่ถูกต้อง แต่สิ่งนี้ไม่ได้รับประกันว่าทั้งสองอย่างสอดคล้องกัน ฉันนึกได้ว่าฉันอาจจะโน้มน้าวตัวเองว่าโครงร่างสัจพจน์นั้นสมเหตุสมผล แต่ฉันคิดว่ามันต้องการเหตุผลมากกว่าแค่จักรวาล Grothendieck (คำถามด้านข้าง: พระคาร์ดินัลขนาดใหญ่มีขนาดใหญ่เพียงใดที่สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้แนวคิดที่ว่า "อนุญาตให้รวบรวมทุกสิ่งที่เรามีอยู่แล้ว" ฉันไม่แน่ใจว่านี่เป็นคำถามที่กำหนดไว้อย่างสมบูรณ์หรือไม่ ... แต่สำหรับฉันแล้ว พระคาร์ดินัลที่วัดได้นั้นไม่ได้เป็นแบบนั้นอย่างแน่นอน (แต่ฉันยินดีที่จะแก้ไข) เนื่องจากดูเหมือนว่าจะมีการปรากฏตัวของคุณสมบัติ Combinatorial ใหม่)
อีกเหตุผลหนึ่งที่ฉันไม่พอใจกับจักรวาล Grothendieck เมื่อเร็ว ๆ นี้ก็คือในบางแง่เราต้องการใช้มันเพื่อให้สามารถเพิกเฉยต่อความละเอียดอ่อนเชิงทฤษฎีในบางแง่มุมพวกมันจะกลับมากัดคุณเพราะตอนนี้คุณต้องระบุใน จักรวาลใดที่มีบางสิ่งอาศัยอยู่ บางครั้งคุณอาจต้องระบุจักรวาลที่แตกต่างกันหลายแห่งสำหรับวัตถุประเภทต่างๆ (ลองนึกถึงการมัดในเซตที่มีค่าไม่ จำกัด ) และฉันพบว่ามันค่อนข้างน่าเกลียดอย่างรวดเร็ว ฉันอยากให้วัตถุทั้งหมดอยู่ร่วมกันในจักรวาลเดียว
ดังนั้นในขณะที่คิดเกี่ยวกับการมัดในเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุดฉันก็พบวิธีแก้ปัญหาที่มีเพียงจักรวาลเดียวที่น่าพอใจและน่าพึงพอใจในเชิงอภิปรัชญามากขึ้นและโซลูชันนี้ (ชุดควบแน่น) สามารถทำให้เป็นทางการใน ZFC ได้โดยไม่มีปัญหา
ตกลงดังนั้นฉันจึงอ้างว่าจักรวาล Grothendieck ไม่ได้แก้ปัญหาที่พวกเขาตั้งไว้เพื่อแก้ไขอย่างแท้จริง
ก) พวกเขายังคงไม่อนุญาตให้คุณพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับหมวดหมู่ของทุกชุด / กลุ่ม / ... (ยกเว้นเป็นผลสอดคล้องหรือภายใต้หลักการที่แข็งแกร่งพระคาร์ดินัลขนาดใหญ่)
b) การทำงานกับพวกเขาคุณยังคงต้องกังวลเกี่ยวกับปัญหาเรื่องขนาด - ตอนนี้หมวดหมู่ของชุดทั้งหมดของคุณแบ่งออกเป็นชุดของขนาดต่างๆทุกประเภท (เช่นในจักรวาลที่แตกต่างกัน)
นอกจากนี้ยังเพิ่มความแข็งแรงสม่ำเสมอ
ตอนนี้หลังจากการสนทนาที่ยอดเยี่ยมที่นี่ฉันคิดว่าข้อเสนอของ Feferman นั้นดีกว่ามาก อย่างไรก็ตามดังที่ Mike Shulman แสดงความคิดเห็นเช่นกันฉันถือว่าสัจพจน์ของ Feferman ไม่ได้อธิบายถึงโลกที่ถูกต้องทางออนโทโลจี แต่ฉันถือว่า "จักรวาล" ของทฤษฎีของ Feferman เป็นเพียงความสะดวกเพื่อที่จะพูดถึงหมวดหมู่ขนาดใหญ่ราวกับว่ามันมีขนาดเล็ก กล่าวอีกนัยหนึ่งทฤษฎีของ Feferman ช่วยให้คุณมีเมตา - ทฤษฎีที่จะโต้แย้งเกี่ยวกับหมวดหมู่ใหญ่ ๆ ดังกล่าวจาก "ภายนอก" แต่เป็นทฤษฎีที่ฉันจะใช้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของ ZFC เท่านั้น เมื่อเปรียบเทียบกับจักรวาล Grothendieck ทฤษฎีของ Feferman
ก) จะช่วยให้คุณสามารถที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับหมวดหมู่ของทุกชุด / กลุ่ม / ... เพราะมันชัดเจนรวมถึงความจริงเค้าร่างที่ทฤษฎีบททั้งหมดเกี่ยวกับชุดเล็ก ๆ นอกจากนี้ยังมี theorems เกี่ยวกับทุกชุด
b) แน่นอนว่าภายใต้การพิสูจน์ของทฤษฎีบทของ ZFC ที่ทำให้เกิดปัญหาขนาดที่ไม่สำคัญเรายินดีเป็นอย่างยิ่งที่ทฤษฎีนี้ช่วยให้คุณสามารถพูดคุยเกี่ยวกับขนาดต่างๆได้ ยิ่งไปกว่านั้นมันยังทำในลักษณะที่คุณยังสามารถใช้สัจพจน์ทั้งหมดของ ZFC กับ "จักรวาล" แต่ละแห่งได้และยังดูแล "เบื้องหลัง" ของวิธีการเขียนทุกอย่างใหม่ในแง่ของขอบเขตที่สำคัญ (อาจละเอียดอ่อนมาก) ใน ZFC เอง ดังนั้นจึงเหมือนกับภาษาโปรแกรมระดับสูงสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เกี่ยวข้องกับการประมาณค่าที่ยากใน ZFC
นอกจากนี้มันไม่ได้เพิ่มความสม่ำเสมอและในความเป็นจริงข้อความใด ๆ ของ ZFC ที่พิสูจน์แล้วในภาษานี้เป็นทฤษฎีบทของ ZFC (ดังที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้นเราสามารถมี a) + b) กับจักรวาล Grothendieck แต่จากนั้นจะวิ่งไปตามความสอดคล้องของพระคาร์ดินัลมาห์โล)
ดังนั้นผลสรุปก็คือฉันคิดว่าจักรวาลของ Feferman ทำงานได้ดีกว่ามากในการแก้ปัญหาในการจัดทำ meta-theory เพื่อ "พูดคุยเกี่ยวกับหมวดหมู่ขนาดใหญ่ราวกับว่ามันมีขนาดเล็ก" กว่าที่จักรวาล Grothendieck ทำ
ให้ฉันเพิ่มเหตุผลสุดท้ายในการถามคำถาม ฉันคิดว่าเทคนิคที่มีความเป็นหมวดหมู่สูงกว่าเช่นเทคนิคที่วางไว้ใน HTT มีความสำคัญมากไม่ใช่แค่ในโทโพโลยีพีชคณิตที่เกิดขึ้นเท่านั้น แต่ยังรวมถึงคณิตศาสตร์ทั้งหมดด้วย แน่นอนฉันสามารถยืนยันได้ว่าเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ดังนั้นความเป็นศูนย์กลางของพวกเขาจึงเป็นเหตุผลสำคัญในการวิเคราะห์ความแข็งแกร่งที่สอดคล้องกัน
การอ่าน HTT เป็นเรื่องที่ไม่สำคัญมาก - มันยาวและซับซ้อน บางทฤษฎีจำนวนเพื่อนร่วมงานได้บอก แต่ที่หนึ่งในเหตุผลหลักที่พวกเขาไม่สามารถอ่าน HTT คือการที่จะใช้จักรวาล กล่าวคือพวกเขาคุ้นเคยกับ ZFC มาก (และตรวจสอบด้วยความระมัดระวังเป็นอย่างยิ่ง!) ซึ่งจะพยายามกำจัดการใช้จักรวาลใด ๆ ในการโต้แย้งโดยอัตโนมัติ ตอนนี้ใน SGA อย่างน้อยถ้าคุณสนใจเฉพาะแอพพลิเคชั่นสำหรับ etale cohomology ของโครงร่างที่สมเหตุสมผลนี่คือสิ่งที่คุณทำได้ด้วยมือตัวอย่างเช่นเพียงแค่เพิ่มสมมติฐานที่สามารถตรวจสอบได้เพื่อทำให้สิ่งเล็ก ๆ น้อย ๆ อย่างไรก็ตามใน HTT ฉันไม่เห็นวิธีใดที่ใครบางคนจะสามารถใส่ขอบเขตที่สำคัญในขณะที่คุณอ่านไป - อาร์กิวเมนต์นั้นซับซ้อนเกินไปสำหรับสิ่งนี้
ตอนนี้ฉันหวังว่าฉันจะบอกพวกเขาได้ว่าพวกเขาสามารถตรวจสอบได้ว่าทุกอย่างทำงานใน ZFC และพวกเขายังสามารถอ่าน HTT (โดยพื้นฐาน) ตามที่เขียนไว้หากพวกเขาอ่านในทฤษฎีเซตของ Feferman หากพวกเขาตรวจสอบอย่างรอบคอบ (ซึ่งจะทำ) พวกเขาอาจยังต้องกรอกคำศัพท์เล็ก ๆ น้อย ๆ ที่นี่และมีข้อโต้แย้งเพิ่มเติมเล็กน้อยที่นั่น - แต่พวกเขาจะต้องทำเช่นนั้นอย่างไรก็ตามในหนังสือใด ๆ ที่มี ~ 1,000 หน้าและฉันอาจจินตนาการได้ว่า ที่น้อยกว่าครึ่งหนึ่งของคำพูดด้านข้างเหล่านี้เกี่ยวข้องกับการแทนที่จักรวาล Grothendieck ด้วย "จักรวาล" ของ Feferman หากใครทำโครงการนั้นจริงแน่นอนว่าพวกเขาสมควรได้รับเครดิตอย่างเต็มที่หากพวกเขาประสบความสำเร็จในงานสำคัญนี้!
ขอทิ้งท้ายไว้สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งที่น่าจะเป็นประเด็นสำคัญในการแปลทฤษฎีของ Feferman ฉันรู้สึกขอบคุณประเด็นที่ Tim Campion ยกขึ้นในคำตอบของเขาและตอนนี้ฉันเห็นว่ามีการกล่าวถึงสิ่งนี้ในคำตอบที่สองของ Jacob Lurie ด้วย คร่าวๆก็มีดังต่อไปนี้ ถ้า$C$ เป็นหมวดหมู่ที่นำเสนอได้จากนั้นก็มีหมวดหมู่ย่อย ๆ $C_0$ ดังนั้น $C=\mathrm{Ind}_\kappa(C_0)$
สำหรับพระคาร์ดินัลปกติบางคน $\kappa$ติดกันได้อย่างอิสระขนาดเล็กทั้งหมด $\kappa$colimits ที่กรอง สิ่งนี้ทำให้$C$ โดยธรรมชาติแล้วการรวมกันของ $C_\tau$อยู่ที่ไหน $C_\tau$ รวบรวมเฉพาะไฟล์ $\tau$- เล็ก $\kappa$colimits ที่กรอง ที่นี่$\tau$ เป็นพระคาร์ดินัลปกติเช่นนั้น $\tau\gg \kappa$. โครงสร้างที่เพิ่มขึ้นของ$C$ เป็นสหภาพของ $C_\tau$เป็นศูนย์กลางในทฤษฎีของหมวดหมู่ที่นำเสนอได้ แต่ระดับจะถูกแจกแจงโดยพระคาร์ดินัลปกติ (บางคน) $\tau$. หากคุณเพิ่มจักรวาลของคุณคุณจะได้รับเวอร์ชันที่ใหญ่ขึ้นด้วย$C'$ ของ $C$ ตัวเองและในจักรวาล Grothendieck $C$ ตอนนี้เป็นหนึ่งในเลเยอร์ที่ดี $C'_\tau$ ของ $C$, ที่ไหน $\tau$เป็นพระคาร์ดินัลที่ถูกตัดขาดของจักรวาลก่อนหน้า แต่ในจักรวาลของ Feferman สิ่งนี้$\tau$ไม่ปกติ สิ่งนี้อาจทำให้ข้อโต้แย้งบางอย่างละเอียดขึ้น แต่ฉันคาดหวังว่าโดยปกติแล้วจะสามารถแก้ปัญหานี้ได้โดยการฝัง$C$ เป็นบางส่วน $C'_\tau$ ด้วย $\tau$ พระคาร์ดินัลปกติบางตัวมีขนาดใหญ่กว่าจุดตัดของเอกภพที่เล็กกว่า
เพื่อตอบสนองต่อการแก้ไขที่ตอกตะปูลงไปในระบบที่เป็นทางการที่เกี่ยวข้องกับพระคาร์ดินัล $\kappa_{-1} < \kappa_0 < \kappa_{1/2} < \kappa_1$:
ฉันกำลังจะออกไปข้างนอกด้วยแขนขาที่ไม่ได้รับคำแนะนำมากขึ้นและคาดการณ์ว่าเพื่อให้พอดีกับบทที่ 1-4 ในระบบที่เป็นทางการนี้ไม่จำเป็นต้องใช้เลขคณิตที่แท้จริง แต่สำหรับส่วนนี้ของหนังสือสิ่งที่คุณต้องทำคืออ่านและเพิ่มสมมติฐานงบทฤษฎีบทต่างๆของแบบฟอร์ม "$X$ คือ $\kappa_{-1}$-small "ท้ายที่สุดแล้วส่วนนี้ของหนังสือเล่มนี้จะเกี่ยวข้องกับวัตถุขนาดเล็กเท่านั้นยกเว้นวัตถุขนาดใหญ่บางอย่างเช่นหมวดหมู่ชุดเรียบง่ายขนาดเล็กหมวดหมู่แบบเรียบง่ายขนาดเล็กเป็นต้นและสิ่งต่างๆเช่น แบ่งประเภทของสิ่งนั้นโครงสร้างแบบจำลองต่าง ๆ ถูกสร้างขึ้น แต่ฉันเชื่อว่าในแต่ละกรณีเราสามารถทำได้โดยใช้กรณีพิเศษของอาร์กิวเมนต์วัตถุขนาดเล็กสำหรับการสร้างการปรับเปลี่ยนร่วมกัน / การปรับเทียบแบบ acyclic ระหว่างวัตถุที่นำเสนอได้อย่างไม่ จำกัด ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องมีการเหนี่ยวนำแบบไม่ จำกัด บนใบหน้าของมันการยืด / คลายความตึงมีรูปลักษณ์ของโครงสร้างซึ่งอาจใช้ทฤษฎีเซตในรูปแบบที่จริงจัง แต่ฉันจะไปข้างหน้าและคาดการณ์ว่าสิ่งเหล่านี้ไม่มีปัญหากับระบบทางการที่เสนอ
บทที่ 5 เริ่มน่ารำคาญมากขึ้น ฉันเชื่อว่าเราจะต้องตัดสินใจอย่างรอบคอบเกี่ยวกับทฤษฎีบทหลักของการนำเสนอ ($\infty$) - หมวดหมู่ สิ่งที่ทำให้หมวดหมู่ที่นำเสนอได้คือการที่พวกเขาบรรจุทฤษฎีบท adjoint functor ไว้อย่างหมดจด แต่อย่างที่คุณพูดทฤษฎีบทตัวปรับจุดร่วมแบบธรรมดามาพร้อมกับข้อควรระวังในการตั้งค่านี้ ฉันอาจจะบอกได้ว่าจุดรวมของการคิดเกี่ยวกับหมวดหมู่ที่นำเสนอได้ในตอนแรกนั้นถูกยกเลิกโดยสิ้นเชิงในการตั้งค่านี้ คุณจะไม่สามารถพิสูจน์สิ่งพื้นฐานเช่น "หมวดหมู่ที่นำเสนอได้คือการแปลที่สามารถเข้าถึงได้อย่างแม่นยำของหมวดหมู่พรีเซฟ" ฉันคาดเดาว่าทางเลือกใด ๆ ที่เกิดขึ้นเกี่ยวกับการกำหนดทฤษฎีบทหลักของหมวดหมู่ที่นำเสนอได้ในเวอร์ชันที่อ่อนแอในการตั้งค่านี้จะมีแอปพลิเคชันหรือแอปพลิเคชันที่อาจเกิดขึ้นได้
บทที่ 5 และ 6 ยังมีทฤษฎีบทเกี่ยวกับหมวดหมู่ขนาดใหญ่โดยเฉพาะเช่น $\infty$- หมวดหมู่ของเรียบร้อย $\infty$- หมวดหมู่และ $\infty$- หมวดหมู่ของ $\infty$-topoi [1]. ระบบดูเหมือนว่าจะไม่เป็นปัญหาต่อข้อยกเว้นว่าตอนนี้ปัญหาที่พบในทฤษฎีการนำเสนอขั้นพื้นฐานจะถูกรวมเข้าด้วยกัน คุณจะไม่สามารถพิสูจน์ได้$Pr^L$ เป็นคู่กับ $Pr^R$. คุณจะไม่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Giraud ได้ (คำจำกัดความจะอยู่ในฟลักซ์อยู่ดีดังนั้นฉันควรชี้แจง: คุณจะไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าการแปลประเภท presheaf ที่สามารถเข้าถึงได้อย่างถูกต้องนั้นจะเหมือนกับขนาดเล็กในพื้นที่ หมวดหมู่ที่ตรงตามรายการของความสมบูรณ์การสร้างและเงื่อนไขความถูกต้อง) ทฤษฎีบทเกี่ยวกับ$\infty$-topoi ที่มีการพิสูจน์ดำเนินการโดยเริ่มต้นด้วยกรณี presheaf จากนั้นการแปลเป็นภาษาท้องถิ่นจะต้องได้รับการคิดใหม่ทั้งหมด
บางทีฉันอาจจะไม่อยู่ที่นี่ แต่ฉันเชื่อว่างานพิเศษที่สำคัญและความคิดทางคณิตศาสตร์ใหม่ ๆ จะต้องมีสำหรับบทที่ 5 และ 6 และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นทฤษฎีที่ใช้ยากกว่ามาก
ในทางตรงกันข้ามฉันคิดว่าหากคุณเต็มใจที่จะ จำกัด ความสนใจไปที่หมวดหมู่ขนาดใหญ่ซึ่งสามารถกำหนดได้จากพารามิเตอร์ขนาดเล็กแม้ว่าคุณจะพลาดความสามารถที่สวยงามที่จะพูดว่า "เราพิสูจน์แล้วว่าสิ่งนี้สำหรับหมวดหมู่เล็ก ๆ แต่ตอนนี้เราสามารถนำไปใช้กับหมวดหมู่ขนาดใหญ่ได้แล้ว พวกคุณจะจบลงด้วยทฤษฎีการนำเสนอที่มีประโยชน์มากขึ้นโดยไม่ต้องออกจาก ZFC
[1] ที่จริงแล้วในฐานรากปกติหมวดหมู่เหล่านี้มีขนาดใหญ่และไม่ใหญ่มากเท่านั้น (อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นพวกมันมี $\kappa_0$- วัตถุมากมายและ $\kappa_0$homs ขนาด) แต่จำเป็นต้องมีโมดิคัมของงานเพื่อแสดงสิ่งนี้ จะยังคงเป็นเช่นนั้นในระบบที่เป็นทางการนี้หรือไม่? ฉันไม่แน่ใจ.
แก้ไข: ความคิดเห็นที่ยาวนานในการตอบสนองต่อปีเตอร์ Scholze ของคำตอบ
สิ่งหนึ่งที่ฉันเพิ่งตระหนักก็คือถ้า$\kappa_0$ ไม่ใช่ $\beth$- จุดคงที่แล้วไม่ใช่ทุกชุดใน $V_{\kappa_0}$ มี cardinality $<\kappa_0$เพื่อให้ความคิดเรื่อง "ความเล็ก" ทวีคูณ น่าดีใจฉันคิดว่าระบบที่เป็นทางการของคุณพิสูจน์ได้ว่า$V_{\kappa_0}$ มี $\Sigma_1$-replacement ซึ่งหมายความว่าเป็นไฟล์ $\beth$- จุดคงที่ วิกฤตพลิก!
บางทีแนวทางของการใช้สมมติฐานที่แน่นอนอย่างเป็นระบบภายใน "การตั้งค่าจักรวาล" นี้จะสามารถใช้งานได้ - การรวม "สิ่งที่ดีที่สุดของทั้งสองโลก" เข้าด้วยกัน สิ่งที่ดีอย่างหนึ่งก็คือแม้ว่าคุณจะใช้สมมติฐานเชิงเมทามาติกอย่างชัดเจน แต่ก็ดูเหมือนว่าคุณจะยังคงสามารถระบุและพิสูจน์ทฤษฎีบทเหล่านี้เป็นทฤษฎีบทเดียวแทนที่จะเป็นสคีมา
ฉันสับสนเล็กน้อยเกี่ยวกับ Proposition 5.2.6.3 (ข้อสุดท้ายที่คุณพูดถึงและทฤษฎีบทของ adjoint functor รุ่นทารก) ฉันคิดว่าหมวด presheaf$P(C)$ จะถูกกำหนดให้ประกอบด้วย functors เหล่านั้น $C^{op} \to Spaces$ ซึ่งอยู่ใน $Def(V_{\kappa_0})$. เมื่อเราผ่านไปยังจักรวาลที่ใหญ่ขึ้นการเปลี่ยนแปลงมักจะเป็นไปอย่างราบรื่นเพราะเราคาดหวัง$P(C)$ เพื่อให้ colimits ทั้งหมดจัดทำดัชนีโดย $\kappa_0$- หมวดหมู่ขนาดเล็ก - คุณสมบัติตามธรรมชาติที่สมบูรณ์แบบในการใช้งาน $V_{\kappa_1}$. ขั้นตอนแรกของการพิสูจน์ 5.2.6.3 ของ Lurie คือการแสดงให้เห็นว่ามีการเลื่อนด้านซ้ายโดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า$P(C)$มี colimits เล็ก ๆ ทั้งหมด [2] อย่างไรก็ตามในการตั้งค่าปัจจุบันเราไม่สามารถสรุปได้ว่า$\kappa_0$ เป็นเรื่องปกติดังนั้นเราจึงไม่สามารถสรุปได้ว่า $P(C)$มี colimits ขนาดเล็กทั้งหมด สิ่งที่ดีที่สุดที่เราสามารถพูดได้ก็คือ$V_{\kappa_0}$ คิด $P(C)$มี colimits ขนาดเล็กทั้งหมด ตราบเท่าที่เรากำลังดำเนินการอยู่$V_{\kappa_0}$คุณสมบัตินี้ "ดีพอ ๆ กัน" เนื่องจากมี colimits เล็ก ๆ ทั้งหมด แต่เมื่อเราเลื่อนขึ้นไป$V_{\kappa_1}$ทันใดนั้นเราก็ต้องคิดว่ามันคืออะไร - คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ บางทีหลังจากนั้นฉันอาจจะนั่งลงและลองดูว่าหลักฐาน 5.2.6.3 ของ Lurie สามารถใช้งานได้ในการตั้งค่านี้หรือไม่ แต่ฉันคิดว่าเบื้องต้นมันไม่ชัดเจน
[2] หลังจากตรวจสอบการดำรงอยู่อย่างเป็นนามธรรมด้วยวิธีนี้เท่านั้นเขาแสดงให้เห็นว่าตัวปรับด้านซ้ายจะต้องเป็นตัวระบุตำแหน่ง แน่นอนว่าการซ้อมรบนี้เป็นภาวะแทรกซ้อนเพิ่มเติมที่มาพร้อมกับ$\infty$- การตั้งค่าหมวดหมู่ - ในหมวดหมู่ทั่วไปสูตรสำหรับ functors ทั้งสองสามารถตรวจสอบได้โดยตรงว่าสามารถปรับให้เข้ากันได้ แต่อยู่ใน $\infty$- หมวดหมู่สูตรสำหรับ adjoint ด้านซ้ายไม่ใช่หน้าที่อย่างชัดเจน