พิสูจน์ว่าลำดับ $\{a_n\}_n$ ที่กำหนดโดย $a_1=-\frac14$ และ $-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4$ มาบรรจบกันและหาขีด จำกัด
ฉันต้องการตรวจสอบความพยายามและการหักเงินของฉัน งานมีดังนี้:
พิสูจน์ว่าลำดับ $\{a_n\}_n$ ที่กำหนดโดย $a_1=-\frac14$ และ $$-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4$$ มาบรรจบกันและหาขีด จำกัด
นี่คือสิ่งที่ฉันมีจนถึงตอนนี้:
$$-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4\iff a_{n+1}(a_n+4)+4=0\tag 1$$
ฉันคำนวณเงื่อนไขสองสามข้อ:
$a_2(a_1+4)=-4\implies a_2=-\frac{16}{15}\\a_3(a_2+4)=-4\implies a_3=-\frac{15}{11}\\a_4(a_3+4)=-4\implies a_4=-\frac{44}{29}$
ฉันถือว่า $a_n<0\quad\forall n\in\Bbb N$.
จากนั้น $(1)$ และ $a_{n+1}<0$มันเป็นไปตาม
$\begin{aligned}a_{n+1}(a_n+4)&=-4\\\implies a_n+4&>0\\\implies a_n&>-4\end{aligned}$
จากนั้นโดยอุปนัยถ้า $\,0>a_1>\ldots>a_{m-1}>a_m$ สำหรับบางคน $m\in\Bbb N,$ เรามี $\begin{aligned}a_{m-1}+4&>a_m+4>0\\\implies \frac1{a_{m-1}+4}&<\frac1{a_m+4}\\\implies \color{red}{a_m}=-\frac4{a_{m-1}+4}&>-\frac4{a_m+4}=\color{red}{a_{m+1}}\end{aligned}$
ดังนั้นลำดับ $\{a_n\}_n$ เป็นแบบโมโนโทนิกและมีขอบเขตดังนั้นคอนเวอร์เจนท์
นอกจากนี้เรายังสามารถพิสูจน์คำสั่งที่แข็งแกร่งกว่านี้ได้:
$a_n>-2\quad\forall n\in\Bbb N$.
$$\begin{aligned}a_n+4&>-2+4=2>0\\\implies -\frac1{a_n+4}&>-\frac12\\\implies a_{n+1}=-\frac4{a_n+4}&>-\frac42=-2\end{aligned}$$
เสียบขีด จำกัด เข้า $(1)$, เราได้รับ $$L^2+4L+4=(L+2)^2=0\iff L=-2$$
ดังนั้น $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=-2$.
มีข้อผิดพลาดในสมมติฐานและข้อสรุปของฉันหรือไม่และฉันควรทำตามขั้นตอนใด ๆ ในลำดับอื่น
ฉันรู้ว่าฉันพิสูจน์ไม่ได้ $a_n<0\quad\forall n$ โดยการเหนี่ยวนำตั้งแต่ฟังก์ชัน $f:\Bbb R\setminus\{-4\}\to\Bbb R\setminus\{0\}$ ที่กำหนดโดย $$f(x)=-\frac4{x+4}$$ ไม่ใช่เสียงเดียวบนทั้งโดเมนเพียงแค่เปิด $(-\infty,-4)$ และ $(-4,+\infty)$ แยกกัน
นอกจากนี้เมื่อฉันพิจารณาการเขียน $a_n=\frac{x_n}{y_n}$ แล้ว $$\begin{aligned}a_{n+1}&=\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}\\&=-\frac4{\frac{x_n}{y_n}+4}\\&=\frac{-4y_n}{x_n+4y_n}\end{aligned}$$ และสมมติ $x_{n+1}=-4y_n$ และ $y_{n+1}=x_n+4y_n$ฉันได้รับการกลับเป็นซ้ำที่เป็นเนื้อเดียวกัน $$\begin{aligned}y_{n+1}&=-4y_{n-1}+4y_n\\\iff y_{n+1}-4y_n+4y_{n-1}&=0\end{aligned}$$ ด้วยพหุนามลักษณะเฉพาะ $$\lambda^2-4\lambda+4=(\lambda-2)^2$$ ด้วยหลายรูทดังนั้นฉันคิดว่าฉันจะซับซ้อนเกินไป
ขอบคุณมาก!
คำตอบ
$$-4A_{n+1}=A_n A_{n+1}+4$$
ปล่อย $A_n=\frac{B_{n-1}}{B_n}$ $$-4\frac{B_n}{B_{n+1}}=\frac{B_{n-1}}{B_n} \frac{B_n}{B_{n+1}}+4$$ $$\implies 4B_{n+1}+4 B_n+B_{n-1}=0$$ ปล่อย $B_n=t^n$แล้ว $$\implies 4t+4+t^{-1}\implies t=-1/2.$$ แล้ว $B_n=(Pn+Q)(-2)^{-n}$, $$ A_n=-2\frac{P(n-1)+Q}{Pn+Q}=-2\frac{n-1+R}{n+R}$$ $$A_1=-1/4 \implies R=1/7.$$ ในที่สุดเรามีวิธีแก้ปัญหา $(1)$ เช่น $$A_n=\frac{12-14n}{7n+1} \implies \lim_{n \to \infty}A_n=-2.$$