IMO 2003 / G1: แสดงว่า $PQ=QR$ ถ้าและเฉพาะในกรณีที่เส้นแบ่งครึ่งของ $\angle ABC$ และ $\angle ADC$ พร้อมกันกับ $AC$.

Aug 18 2020

ปล่อย $ABCD$เป็นรูปสี่เหลี่ยมวนรอบ ปล่อย$P$, $Q$, $R$ เป็นเท้าของฉากจาก $D$ ไปยังเส้น $BC$, $CA$, $AB$ตามลำดับ แสดงว่า$PQ=QR$ ถ้าและเฉพาะในกรณีที่เส้นแบ่งครึ่งของ $\angle ABC$ และ $\angle ADC$ พร้อมกันกับ $AC$.

นี่คือแผนภาพ:

ฉันต้องการใช้ภูมิศาสตร์แบบฉายภาพ

ความคืบหน้าของฉัน : เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า$P,Q,R$ เป็น collinear [simson line]

ตอนนี้นี่คือคำย่อ

เลมมา : รับรูปสี่เหลี่ยมแบบวงกลม$ABCD$, เส้นแบ่งครึ่งมุม $\angle ABC$ และ $\angle ADC$ พร้อมกันกับ $AC$ ถ้าและต่อเมื่อ $ABCD$ เป็นฮาร์มอนิก

หลักฐาน : ถ้า$ABCD$ เป็นฮาร์มอนิกแล้ว $(A,C;B,D)=-1 \implies \frac {BA}{BC}=\frac {DA}{DC} $ ตอนนี้ใช้ทฤษฎีบทเส้นแบ่งมุมเราทำเสร็จแล้ว

เราสามารถย้อนกลับเพื่อพิสูจน์ทิศทางอื่นได้


ดังนั้นคำถามที่เปลี่ยนใหม่คือ:

ปล่อย $ABCD$เป็นรูปสี่เหลี่ยมวนรอบ ปล่อย$P$, $Q$, $R$ เป็นเท้าของฉากจาก $D$ ไปยังเส้น $BC$, $CA$, $AB$ตามลำดับ แสดงว่า$Q$ คือจุดกึ่งกลางของ $PR$ ถ้าและต่อเมื่อ $ABCD$ เป็นฮาร์มอนิก:

ตอนนี้ฉันถูกขอให้ใช้ Projective geo ฉันกำลังวางแผนที่จะแสดง $(P,R;Q,P_{\infty})=-1$. ตอนนี้ฉันจะได้รับ$P_{\infty}$เมื่อฉันพิจารณาเส้นที่ขนานกับเส้นซิมสัน แต่ฉันไม่สามารถดำเนินการต่อไปได้ ฉันใช้เส้นที่ขนานกับ$PR$ ผ่าน $D$แต่ไม่สามารถดำเนินการได้ ..

คำตอบ

3 Yesit'sme Aug 18 2020 at 21:29

ขยาย $DQ$ เพื่อตอบสนองวงกลมที่ $X$จากนั้น BX จะขนานกับเส้น simson ตามที่กล่าวไว้ในความคิดเห็น

ถ้าเป็นส่วนหนึ่ง: ตอนนี้ให้ $BX$ พบกัน $AC$ ที่ $Y$. รับมุมมองที่ $B$ เข้าสู่บรรทัด $AC$ เพื่อแสดงว่า $(Y,Q,A,C)$ ฮาร์มอนิกตอนนี้ใช้มุมมองที่ $X$ ลงบนวงกลมเพื่อแสดงสิ่งนั้น $ABCD$เป็นฮาร์มอนิก ทิศทางอื่นสามารถพิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกัน