แก้ระบบอสมการเชิงเส้นด้วยพารามิเตอร์

Aug 20 2020

แก้ระบบอสมการ\ start {cases} 0 \ leq \ phantom {-2 \;} x + 2 \, y-3 \, b + 3 \, a \ leq 2 \\ 0 \ leq -2 \, x -3 \, y + 6 \, b \ phantom {\; + 3a \; \,} \ leq 1 \\ [4pt] 0 \ leq x \ leq 1 \\ 0 \ leq y \ leq 2 \\ [4pt ] 0 \ leq a \ leq 1 \\ 0 \ leq b \ leq 1 \ tag {*} \ end {cases}ที่นี่$x,y$ เป็นตัวแปรที่ไม่รู้จักและ $a,b$ เป็นพารามิเตอร์

ความพยายามของฉัน การเพิ่มอสมการด้วยค่าสัมประสิทธิ์บางตัวฉันได้แยกตัวแปรและรับระบบอย่างง่าย\ begin {cases} 0 \ leq y + 6a \ leq 5, \\ 0 \ leq -x + 9a + 3b \ leq 8. \\ \ tag {**} \ end {cases}และฉันสามารถแก้ไขได้ แต่การแก้ปัญหาของระบบสุดท้ายไม่ใช่การแก้ปัญหาของระบบเริ่มต้น!

Maple และ WolframAlpha ไม่สามารถแก้ระบบได้

ความช่วยเหลือใด ๆ

PS1 สำหรับ $a=\frac{63}{100}$ และ $b=\frac{59}{100}$ (ตามภาพของ G Cab ด้านล่าง) Maple ให้คำตอบ \ เริ่ม {รวบรวม *} \ left \ {x = 1, {\ frac {9} {50}} \ leq y, y \ leq {\ frac {11} {25}} \ right \}, \ left \ { x = -3 / 2 \, y + {\ frac {127} {100}}, {\ frac {9} {50}} <y, y <{\ frac {11} {25}} \ right \}, \ left \ {{\ frac {9} {50}} <y, x <1, y <{\ frac {11} {25}}, - 3/2 \, y + {\ frac {127} {100} } <x \ right \}, \ left \ {y = {\ frac {11} {25}}, {\ frac {61} {100}} \ leq x, x <1 \ right \}, \ left \ {x = -3 / 2 \, y + {\ frac {127} {100}}, {\ frac {11} {25}} <y, y <{\ frac {127} {150}} \ right \} , \ left \ {{\ frac {11} {25}} <y, x <-2 \, y + {\ frac {47} {25}}, y <{\ frac {127} {150}}, - 3/2 \, y + {\ frac {127} {100}} <x \ right \}, \ left \ {x = -2 \, y + {\ frac {47} {25}}, {\ frac {11 } {25}} <y, y <{\ frac {127} {150}} \ right \}, \ left \ {x = 0, {\ frac {127} {150}} \ leq y, y \ leq {\ frac {47} {50}} \ right \}, \ left \ {y = {\ frac {127} {150}}, x \ leq {\ frac {14} {75}}, 0 <x \ ขวา \}, ซ้าย \ {0 <x, {\ frac {127} {150}} <y, x <-2 \, y + {\ frac {47} {25}}, y <{\ frac {47 } {50}} \ right \}, \\ \ left \ {x = -2 \, y + {\ frac {47} {25}}, {\ frac {127} {150}} <y, y <{ \ frac {47} {50}} \ right \} \ end {รวบรวม *}

PPS ฉันสนใจที่จะหาวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดไม่ได้ แต่เป็นการหาวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งข้อจากพื้นที่หากมีอยู่ แต่ในแง่ $a$ และ $b$, ตัวอย่างเช่น, $x=(a+b)/2, y=(2a-b)/10$ เป็นทางออก

คำตอบ

2 YuriNegometyanov Aug 27 2020 at 00:27

ให้เราพิจารณาระบบในรูปแบบ\ begin {cases} 6b-1 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 3b-3a \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \\ x, y \ in [ 0,1] \ tag1 \ end {cases}เหนือชุดของคู่ที่เป็นไปได้$(a,b)\in[0,1]^2.$

$$\color{blue}{\mathbf{Case\ 1.\quad a-b >\dfrac23.}}$$

ระบบ $(1)$ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

$$\color{blue}{\mathbf{Case\,2.\quad 0\le a \le \min\left[\frac{2+3b}3,1\right].}}\tag2$$

$\color{blue}{\mathbf{Case\,2.1.\quad b\in \bigg[0,\dfrac16\bigg],\quad a\in\bigg[0,b\bigg].}}$

สมการแรกของระบบในรูปแบบ\ begin {cases} 0 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 3b-3a \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \ tag {3.1} \ end {cases }เหนือจตุภาคแรกกำหนดรูปสามเหลี่ยมด้วยจุดยอด$\quad (0,0),\quad (3b,0),\quad (0,2b).$

สมการที่สองเหนือควอดแดรนต์แรกกำหนดรูปสี่เหลี่ยมคางหมูด้วยจุดยอด

$(3b-3a, 0),\quad (2+3b-3a,0),\quad (0, \frac{2+3b-3a}2),\quad(0, \frac{3b-3a}2).$

ตั้งแต่

$\ 0 \le 3b-3a\le 3b \le 2+3b-3a,$
$\ 0 \le \frac{3b-3a}2 \le 2b \le \frac{2+3b-3a}2,$

คำตอบคือซิมเพล็กซ์กับจุดยอด $(3b-3a, 0),\quad (3b,0),\quad (0,2b),\quad (0, \frac{3b-3a}2).$

ในเชิงวิเคราะห์ $$\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{3b-3a-x}2,0\right),\frac{6b-2x}3\bigg]\bigg).\tag{4.1}$$

โซลูชันสำหรับ $\quad a=\dfrac1{10},\quad b=\dfrac18.$

$\color{blue}{\mathbf{Case\,2.2.\quad b\in \bigg[0,\dfrac16\bigg],\quad a\in\bigg[b,\dfrac{2+3b}3\bigg].}}$

สมการแรกของระบบในรูปแบบ\ begin {cases} 0 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 0 \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \ tag {3.2} \ end {cases} over Quadrant แรกกำหนดรูปสามเหลี่ยมด้วยจุดยอด$\quad (0,0),\quad (3b,0),\quad (0,2b).$

สมการที่สองเหนือกำลังสองแรกกำหนดรูปสามเหลี่ยมด้วยจุดยอด

$(0,0),\quad (2+3b-3a,0),\quad (0, \frac{2+3b-3a}2).$

ตั้งแต่

ความเท่าเทียมกัน $2b = \frac{2+3b-3a}2$ จะเกิดขึ้นถ้า $a=\frac{2-b}3,$
ความเท่าเทียมกัน $3b = 2+3b-3a$ จะเกิดขึ้นถ้า $a=\frac{2}3,$

จากนั้นควรพิจารณากรณีต่อไป

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.2.1.\quad b\in \left[0,\dfrac16\right],\quad a\in\bigg[b,\dfrac{2-b}3\bigg].}}$$

คำตอบคือสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด $\quad (0,0),\quad (3b,0),\quad (0,2b).$

ในเชิงวิเคราะห์ $$\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[0, \frac{6b-2x}3\bigg]\bigg).\tag{4.2.1}$$

โซลูชันสำหรับ $\quad a\in\bigg[\dfrac1{8},\dfrac58\bigg],\quad b=\dfrac18.$

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.2.2.\quad b\in \left[0,\dfrac16\right],\quad a\in\bigg[\dfrac{2-b}3,\dfrac23\bigg].}}$$

เส้น $2x+3y=6b$ และ $x+2y = 2+3b-3a$ มีจุดตัดที่จุด $(x_i,y_i) = (9a+3b-6, 4-6a).$

วิธีแก้ปัญหาคือซิมเพล็กซ์กับจุดยอด $\quad (0,0),\quad (3b,0),\quad (9a+3b-6, 4-6a),\quad (0,\frac{2+3b-3a}2).$

ในเชิงวิเคราะห์ $$\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[0, \min\left(\frac{2+3b-3a-x}2,\frac{6b-2x}3\right)\bigg]\bigg).\tag{4.2.2}$$

โซลูชันสำหรับ $\quad a = \dfrac{9}{14},\quad b=\dfrac18.$

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.2.3.\quad b\in \left[0,\dfrac16\right],\quad a\in\bigg[\dfrac23,\dfrac{2+3b}3\bigg].}}$$

คำตอบคือสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด $\quad (0,0),\quad (2+3b-3a,0),\quad (0,\frac{2+3b-3a}2).$

ในเชิงวิเคราะห์ $$\bigg(x\in\bigg[0,2+3b-3a\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[0, \frac{2+3b-3a-x}2\bigg]\bigg).\tag{4.2.3}$$

โซลูชันสำหรับ $\quad a = \dfrac{17}{24},\quad b=\dfrac18.$

$\color{blue}{\mathbf{Case\,2.3.\quad b\in \bigg[\dfrac16,\dfrac13\bigg],\quad a\in\bigg[0,b\bigg].}}$

สมการแรกของระบบในรูปแบบ\ begin {cases} 6b-1 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 3b-3a \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \ tag {3.3} \ end {case}เหนือควอดแดรนต์แรกกำหนดรูปสี่เหลี่ยมคางหมูด้วยจุดยอด$\quad (\frac{6b-1}2,0),\quad (3b,0),\quad (0,2b),\quad (0,\frac{6b-1}3).$

สมการที่สองเหนือควอดแดรนต์แรกกำหนดรูปสี่เหลี่ยมคางหมูด้วยจุดยอด

$(3b-3a, 0),\quad (2+3b-3a,0),\quad (0, \frac12(2+3b-3a)),\quad (0, \frac12(3b-3a)).$

ตั้งแต่

ความเท่าเทียมกัน $\frac{6b-1}3 = \frac{3b-3a}2$ จะเกิดขึ้นถ้า $a=\frac{2-3b}9,$
ความเท่าเทียมกัน $\frac{6b-1}2 = 3b-3a$ จะเกิดขึ้นถ้า $a=\frac16,$

จากนั้นควรพิจารณากรณีต่อไป

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.3.1.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[0,\dfrac{2-3b}9\bigg].}}$$

วิธีแก้ปัญหาคือซิมเพล็กซ์กับจุดยอด

$(3b-3a,0),\quad (3b, 0),\quad (0,2b),\quad (0, \frac{3b-3a}2).$

ในเชิงวิเคราะห์ $$\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{3b-3a-x}2,0\right),\frac{6b-2x}3\bigg]\bigg).\tag{4.3.1}$$

โซลูชันสำหรับ $\quad a=\dfrac1{12},\quad b=\dfrac14.$

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.3.2.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[\dfrac{2-3b}9,\dfrac16\bigg].}}$$

เส้น $2x+3y=6b-1$ และ $x+2y = 3b-3a$ มีจุดตัดที่จุด $(x_i,y_i) = (9a+3b-2,1-6a).$

วิธีแก้ปัญหาคือซิมเพล็กซ์กับจุดยอด

$(3b-3a,0),\quad (3b, 0),\quad (0,2b),\quad (0, \frac{6b-1}3),\quad (9a+3b-2,1-6a).$

ในเชิงวิเคราะห์ $${\small\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{6b-1-2x}3, \frac{3b-3a-x}2,0\right),\frac{6b-2x}3\bigg]\bigg)}.\tag{4.3.2}$$

โซลูชันสำหรับ $\quad a=\dfrac3{19},\quad b=\dfrac14.$

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.3.3.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[\dfrac16,b\bigg].}}$$

วิธีแก้ปัญหาคือสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีจุดยอด

$(3b,0),\quad (3b-3a, 0),\quad (0, \frac{3b-3a}2),\quad (0,2b).$

ในเชิงวิเคราะห์ $$\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{6b-1-2x}3,0\right),\frac{6b-2x}3\bigg]\bigg).\tag{4.3.3}$$

โซลูชันสำหรับ $\quad a=\dfrac15,\quad b=\dfrac14.$

$\color{blue}{\mathbf{Case\,2.4.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[b,b+\dfrac23\bigg].}}$

สมการแรกของระบบในรูปแบบ\ begin {cases} 6b-1 \ le 2x + 3y \ le 6b \\ 0 \ le x + 2y \ le 2 + 3b-3a \ tag {3.4} \ end {cases }

เหนือรูปสี่เหลี่ยมแรกกำหนดรูปสี่เหลี่ยมคางหมูด้วยจุดยอด $\quad (\frac{6b-1}2,0),\quad (3b,0),\quad (0,2b),\quad (0,\frac{6b-1}3).$

สมการที่สองเหนือกำลังสองแรกกำหนดรูปสามเหลี่ยมด้วยจุดยอด

$(0,0),\quad (2+3b-3a,0),\quad (0, \frac{2+3b-3a}2).$

ตั้งแต่

ความเท่าเทียมกัน $2b = \frac{2+3b-3a}2$ จะเกิดขึ้นถ้า $a=\frac{2-b}3,$
ความเหมาะสม $3b = 2+3b-3a$ จะเกิดขึ้นถ้า $a = \frac23,$
ความเสมอภาค $\frac{6b-1}3 = \frac{2+3b-3a}2$ จะเกิดขึ้นถ้า $a=\frac{8-3b}9,$
ความเสมอภาค $\frac{6b-1}2 = 2+3b-3a$ จะเกิดขึ้นถ้า $a=\frac56,$

จากนั้นควรพิจารณากรณีต่อไป

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.4.1.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[0,\dfrac{2-b}3\bigg].}}$$

วิธีแก้ไขคือสี่เหลี่ยมคางหมูจากย่อหน้า $2.3.3$ ข้างบน.

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.4.2.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[\dfrac{2-b}3,\dfrac23 \bigg].}}$$

เส้น $2x+3y=6b$ และ $x+2y = 2+3b-3a$ มีจุดตัดที่จุด $(x_i,y_i) = (9a+3b-6,4-6a).$

วิธีแก้ปัญหาคือซิมเพล็กซ์กับจุดยอด

$(\frac{6b-1}2,0),\quad (3b, 0),\quad (9a+3b-6,4-6a),\quad (0,\frac{2+3b-3a}2),\quad (0, \frac{6b-1}3).$

ในเชิงวิเคราะห์ $${\small\bigg(x\in\bigg[0,3b\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{6b-1-2x}3,0\right),\min\left(\frac{2+3b-3a-x}2,\frac{6b-2x}3\right)\bigg]\bigg)}.\tag{4.4.2}$$

โซลูชันสำหรับ $\quad a=\dfrac58,\quad b=\dfrac14.$

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.4.3.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[\dfrac23,\dfrac{8-3b}9 \bigg].}}$$

วิธีแก้ปัญหาคือซิมเพล็กซ์กับจุดยอด

$(\frac{6b-1}2,0),\quad (2+3b-3a, 0),\quad (0,\frac{2+3b-3a}2),\quad (0, \frac{6b-1}3).$

ในเชิงวิเคราะห์ $${\small\bigg(x\in\bigg[0,2+3b-3a\bigg]\bigg)\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{6b-1-2x}3,0\right),\frac{2+3b-3a-x}2\bigg]\bigg)}.\tag{4.4.3}$$

โซลูชันสำหรับ $\quad a=\dfrac34,\quad b=\dfrac14.$

$$\color{green}{\mathbf{Case\,2.4.4.\quad b\in \left[\dfrac16,\dfrac13\right],\quad a\in\bigg[\dfrac{8-3b}9,\dfrac56 \bigg].}}$$

เส้น $2x+3y=6b-1$ และ $x+2y = 2+3b-3a$ มีจุดตัดที่จุด $(x_i,y_i) = (9a+3b-8,5-6a).$

คำตอบคือสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด

$(\frac{6b-1}2,0),\quad (2+3b-3a, 0),\quad (9a+3b-8,5-6a).$

ในเชิงวิเคราะห์ $${\small (x\in[9a+3b-8,2+3b-3a])\wedge\bigg(y\in\bigg[\max\left(\frac{6b-1-2x}3,0\right),\frac{2+3b-3a-x}2\bigg]\bigg)}.\tag{4.4.4}$$

โซลูชันสำหรับ $\quad a=\dfrac{14}{17},\quad b=\dfrac14.$

4 GCab Aug 22 2020 at 06:02

เมื่อคุณมีระบบอสมการ (สองเท่า) เช่นนี้ $$ \left\{ \matrix{ a \le x \le b \hfill \cr c \le x \le d \hfill \cr} \right. $$ คุณอาจคิดว่าแต่ละกลุ่มเป็นตัวแทนของกลุ่มบน $x$ แกนโดยที่ระบบยืนสำหรับ AND คือ $$ \eqalign{ & \left\{ \matrix{ x \in \left[ {a,b} \right] \hfill \cr x \in \left[ {c,d} \right] \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \quad x \in \left( {\left[ {a,b} \right] \cap \left[ {c,d} \right]} \right)\quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad x \in \left[ {\max (a,c),\min \left( {b,d} \right)} \right] \cr} $$

ดังนั้นในกรณีของคุณเราสามารถจัดการได้ดังนี้ $$ \eqalign{ & \left\{ \matrix{ 0 \le x + 2y + 3a - 3b \le 2 \hfill \cr 0 \le - 2x - 3y + 6b \le 1 \hfill \cr 0 \le x \le 1 \hfill \cr 0 \le y \le 2 \hfill \cr 0 \le a \le 1 \hfill \cr 0 \le b \le 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ 3\left( {b - a} \right) \le x + 2y \le 3\left( {b - a} \right) + 2 \hfill \cr 6b - 1 \le 2x + 3y \le 6b \hfill \cr 0 \le x \le 1 \hfill \cr 0 \le y \le 2 \hfill \cr 0 \le a \le 1 \hfill \cr 0 \le b \le 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ 0 \le a \le 1 \hfill \cr 0 \le b \le 1 \hfill \cr 0 \le y \le 2 \hfill \cr 3\left( {b - a} \right) \le x \le 3\left( {b - a} \right) + 2 - 2y \hfill \cr 3b - 1/2 - 3/2y \le x \le 6b - 3/2y \hfill \cr 0 \le x \le 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ 0 \le a \le 1 \hfill \cr 0 \le b \le 1 \hfill \cr 0 \le y \le 2 \hfill \cr m = \max \left( {3\left( {b - a} \right),3b - 1/2 - 3/2y,0} \right) \hfill \cr n = \min \left( {3\left( {b - a} \right) + 2 - 2y,\;6b - 3/2y,\;1} \right) \hfill \cr m \le x \le n \hfill \cr} \right. \cr} $$

โดยที่ขั้นตอนที่สามเราเลือกที่จะแยกไฟล์ $x$แต่แน่นอนว่าเราสามารถทำได้ด้วย $y$ ในกรณีนี้ได้รับ $$ \left\{ \matrix{ 0 \le a \le 1 \hfill \cr 0 \le b \le 1 \hfill \cr 0 \le x \le 1 \hfill \cr m = \max \left( {3/2\left( {b - a} \right) - x/2 2b - 1/3 - 2/3x 0} \right) \hfill \cr n = \min \left( {3/2\left( {b - a} \right) + 1 - x/2 \;2b - 2/3x \;2} \right) \hfill \cr m \le y \le n \hfill \cr} \right. $$

ดังนั้นเมื่อแก้ไขแล้ว $a, \; b, \; y$ ภายในช่วงที่อนุญาตเราสามารถคำนวณให้เสร็จสิ้นได้ $x$ ในกรณีแรกหรือในทางกลับกันในเวอร์ชันที่สอง

ระบบที่ร่างไว้ใน Geogebra ให้

หมายเหตุในการตอบกลับความคิดเห็นของคุณ

ดังที่คุณเห็นจากภาพร่างการแก้ปัญหา (เมื่อมีอยู่) โดยทั่วไปจะกำหนดพื้นที่ 2 มิติ
อ้างถึงกรณีที่ปรากฎเมื่อแก้ไขแล้ว$a$ และ $b$คุณสามารถอธิบายพื้นที่ได้โดยมีไฟล์ $y$ เพื่อขยายช่วงที่อนุญาต $[0,2]$ และจึงกำหนด $x$จะอยู่ภายในสองขอบเขตจำเป็นต้องขึ้นอยู่กับ$y$.
ไม่มีความเป็นไปได้ที่จะแสดงขอบเขต$x$ และ $y$ เป็นอิสระจากกัน

ตัวอย่างกับ $a=0.63 ,\; b=0.59$

$$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = 0.63 \\ b = 0.59 \\ 0 \le y \le 2 \\ m = \max \left( { - 0.12,1.27 - 3/2y,0} \right) \\ n = \min \left( {1.88 - 2y,\;3.54 - 3/2y,\;1} \right) \\ m \le x \le n \\ \end{array} \right.\;\; \Rightarrow \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le y \le 2 \\ \begin{array}{*{20}c} {1.27 - 3/2y \le x \le 1} \hfill & {\left| {\;0 \le y < 0.44} \right.} \hfill \\ {1.27 - 3/2y \le x \le 1.88 - 2y} \hfill & {\left| {\;0.44 \le y < 2.54/3} \right.} \hfill \\ {0 \le x \le 1.88 - 2y} \hfill & {\left| {\;2.54/3 \le y < 0.94} \right.} \hfill \\ {0 \le x \le 1.88 - 2y\; \to \;\emptyset } \hfill & {\left| {\;0.94 \le y \le 2} \right.} \hfill \\ \end{array} \\ \end{array} \right.\; \Rightarrow \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1.27 - 3/2y \le x \le 1} \hfill & {\left| {\;0.18 \le y < 0.44} \right.} \hfill \\ {1.27 - 3/2y \le x \le 1.88 - 2y} \hfill & {\left| {\;0.44 \le y < 2.54/3} \right.} \hfill \\ {0 \le x \le 1.88 - 2y} \hfill & {\left| {\;2.54/3 \le y < 0.94} \right.} \hfill \\ \end{array}} \right. \\ \end{array} $$

รุ่นที่สองให้ผลลัพธ์ที่ง่ายกว่าแทน $$ \left\{ \matrix{ a = 0.63 \hfill \cr b = 0.59 \hfill \cr 0 \le x \le 1 \hfill \cr m = \max \left( { - 0.06 - x/2,1.18 - 1/3 - 2/3x,0} \right) = \hfill \cr = 1.18 - 1/3 - 2/3x \hfill \cr n = \min \left( {0.94 - x/2,\;1.18 - 2/3x,\;2} \right) = \hfill \cr = 0.94 - x/2 \hfill \cr m \le y \le n \hfill \cr} \right. $$

ภาคผนวก

ฉันไม่สามารถจับความต้องการของคุณได้อย่างถูกต้อง แต่ไม่ว่าในกรณีใดฉันจะแนะนำแนวทางทางเรขาคณิตเพิ่มเติมสำหรับปัญหาที่อาจให้มุมมองที่แตกต่างกันของวิธีแก้ปัญหา

อสมการคู่แต่ละเส้นแสดงถึงแถบที่ประกอบด้วยเส้นขนานสองเส้นที่มีการแยกคงที่ แถบทั้งสองทับซ้อนกันเพื่อกำหนดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งแปลเพียงในขณะที่ยังคงรักษารูปร่างไว้โดยไม่เปลี่ยนแปลง

พิกัดของจุดยอดทั้งสี่คือ $$ \begin{array}{c|cccc} {} & & {Vsi} & {Vss} & {Vii} & {Vis} \\ \hline x & & {9a + 3b - 8} & {9a + 3b - 6} & {9a + 3b - 2} & {9a + 3b} \\ y & & { - 6a + 5} & { - 6a + 4} & { - 6a + 1} & { - 6a} \\ \end{array} $$ ตอนนี้จนถึง x ของ $Vsi$ มากกว่า $1$ สี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมด $P$ จะอยู่นอกกรอบสี่เหลี่ยม $R = [0,1] \times [0,2]$.
เหมือนกันถ้า y ของ$Vsi$ต่ำกว่าศูนย์ ดังนั้นการมีแนวทางแก้ไขก็จะต้อง$$ \eqalign{ & \left\{ \matrix{ 0 \le b \le 2 \hfill \cr 0 \le a \le 1 \hfill \cr 9a + 3b - 8 \le 1 \hfill \cr 0 \le - 6a + 5 \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \quad \left\{ \matrix{ 0 \le b \le 2 \hfill \cr 0 \le a \le 1 - b/3 \hfill \cr a \le 5/6 \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad \left\{ \matrix{ 0 \le b \le 1/2\; \wedge \;0 \le a \le 5/6 \hfill \cr 1/2 < b \le 2\; \wedge \;0 \le a \le 1 - b/3 \hfill \cr} \right. \cr} $$โปรดทราบว่าข้างต้นเป็นเงื่อนไขที่จำเป็น แต่ยังไม่เพียงพอ นั่นเป็นเพราะเมื่อจุดยอดบนอยู่ในจตุภาคที่สองเรายังต้องกำหนดสิ่งนั้น$P$ ตัดกัน $R$ซึ่งซับซ้อนพอ ๆ กับการใช้เงื่อนไขขั้นต่ำ / สูงสุดก่อนหน้านี้