กำลังพิสูจน์ ' $X$ คือ paracompact Hausdorff iff $X\times Y$ คือ $T_4$ สำหรับ Hausdorff ขนาดกะทัดรัดทั้งหมด $Y$'หากไม่มีทฤษฎีบทของทามาโนะเป็นไปได้?

Question

$X$ คือ paracompact Hausdorff iff $X\times Y$ คือ $T_4$ สำหรับ Hausdorff ขนาดกะทัดรัดทั้งหมด $Y$

สำหรับทฤษฎีบทนี้นัยไปข้างหน้ามีข้อพิสูจน์มาตรฐานในขณะที่ผลกระทบย้อนกลับโดยทั่วไปพิสูจน์ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของทามาโนซึ่งใช้การย่อขนาด

อย่างไรก็ตามฉันไม่รู้มากเกี่ยวกับการย่อขนาด ดังนั้นฉันต้องการถ้ามีการพิสูจน์สำหรับนัยกลับที่ไม่ใช้มัน ฉันพยายามค้นหาทางออนไลน์แล้ว แต่ก็ไม่มีประโยชน์ มีหลักฐานเช่นนี้หรือไม่? ความช่วยเหลือใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชม!

Answer 1

Lemma 2.5 (และผลลัพธ์โดยรอบ) ทำผลงานส่วนใหญ่ในกระดาษคลาสสิกนี้โดย Morita ผู้พิสูจน์เรื่องนี้ก่อน ใช้พื้นที่ทดสอบขนาดกะทัดรัดของลำดับ$W(\omega_\alpha + 1)$และไม่ใช้การย่อขนาดในภาพคร่าวๆเหนือการพิสูจน์ มันเป็นลักษณะทั่วไป (ในแง่หนึ่ง) ของผลลัพธ์ของ Dowker เกี่ยวกับช่องว่างพาราคอมแพ็คที่นับได้

หากเงื่อนไขด้านขวามือเป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับพระคาร์ดินัลทุกคน $\mathfrak{m}$, $X \times [0,1]^{\mathfrak{m}}$ คือ $T_4$ ซึ่งหมายความว่า $X$ คือ $\mathfrak{m}$-paracompact สำหรับพระคาร์ดินัลทั้งหมด (อยู่ในกระดาษ) (และ Hausdorff เล็กน้อยแล้ว) ดังนั้น$X$ คือ paracompact Hausdorff

กระดาษภาพรวมจากปี 2002 โดย Noble อาจสนใจคุณเช่นกันเนื่องจากเป็นคำถามที่คล้ายกัน นอกจากนี้ยังปฏิบัติตามทฤษฎีบทของ Noble ว่าถ้า$X$ คือ $T_1$ และ $X^\kappa$ เป็นเรื่องปกติสำหรับทุกคน $\kappa$แล้ว $X$ มีขนาดกะทัดรัด