กำลังแสดง $(M \otimes_K N) \otimes_K K_n \cong (M \otimes_K K_n) \otimes_{K_n} (N \otimes_K K_n)$

Question

ปล่อย $K = \mathbb{C}[[h]]$ เป็นพีชคณิตของอนุกรมกำลังทางการของสนามที่ซับซ้อนแล้วปล่อยให้ $K_n = \frac{\mathbb{C}[[h]]}{(h^n)}$. ฉันพยายามทำความเข้าใจไอโซมอร์ฟิซึมต่อไปนี้:

$(M \otimes_K N) \otimes_K K_n \cong (M \otimes_K K_n) \otimes_{K_n} (N \otimes_K K_n)$

ขอบคุณ!

Answer 1

การยืนยันมีไว้สำหรับทุกพีชคณิตเชิงสับเปลี่ยน $B$ เหนือวงแหวนสับเปลี่ยน $A$ และ $A$- โมดูล $M,N$. สิ่งนี้ตามมาจากห่วงโซ่นี้ของ$B$- โมดูล isomorphisms: \begin{align} (M\otimes_AB)\otimes_B(N\otimes_AB) &\xrightarrow\sim M\otimes_A(B\otimes_B(N\otimes_AB)\\ &\xrightarrow\sim M\otimes_A(N\otimes_AB)\\ &\xrightarrow\sim(M\otimes_AN)\otimes_AB\\ \end{align}