การแบ่งพาร์ติชันผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของแบบฟอร์ม $[0,n]\times[0,m]$ ( $n,m\in\mathbf{N}$) "ตามแนวทแยงมุม"

Question

พิจารณาผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน $[0,2]\times[0,3]$. องค์ประกอบของชุดนี้คือ$$\begin{align*} & (0,0) & (1,0) & &(2,0) \\ & (0,1) & (1,1) && (2,1)\\ &(0,2) & (1,2) && (2,2)\\ &(0,3) & (1,3) && (2,3)\end{align*}$$ ชุดต่อไปนี้แบ่งผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนนี้ "แนวทแยง": $$\{(0,0)\},\{(1,0),(0,1)\},\{(0,2),(1,1),(2,0)\},\{(0,3),(1,2),(2,1)\},\{(1,3),(2,2)\},\{(2,3)\}.$$ มีวิธีดำเนินการโดยพลการ $n,m\geq 0$เหรอ? ตอนแรกฉันคิดเกี่ยวกับวิธีต่อไปนี้ แต่ละ$k\in[0,m+n]$, ปล่อย $$J_k=\{(i,j)\ |\ 0\leq i\leq n\ \land\ 0\leq j\leq m\ \land\ i+j=k\}.$$ แต่สิ่งเหล่านี้ $J_k$มีองค์ประกอบมากกว่าที่ฉันต้องการ ข้อเสนอแนะในการแก้ไขนี้หรือไม่?

Answer 1

ฉันกำลังตรวจสอบคำจำกัดความของชุดนี้ $J_k$ สำหรับตัวอย่างของคุณด้านบนและมันก็ใช้งานได้ดี

พิจารณาตัวอย่างเช่น $k=2$. แล้ว

$$J_2 = \{(i,j) \mid 0 \leq i \leq 2 \wedge 0 \leq j \leq 3 \wedge i + j = 2\}$$

คุณต้องการคู่ที่เรียงลำดับเหล่านั้นในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า $[0,2] \times [0,3]$ ที่อยู่ในบรรทัด $j = -i + 2$. และคุณอาจเห็นการแก้สมการนั้น (รู้อย่างนั้น$i, j \in \mathbb{N}$) คุณจะได้รับคำตอบที่แน่นอนตามที่คุณเขียนไว้ในคำถามของคุณ

โดยทั่วไปแล้วนั่นคือสิ่งที่คุณกำลังทำในชุดเหล่านั้น

$$J_k = \{(i,j) \mid 0 \leq i \leq n \wedge 0 \leq j \leq m \wedge i + j = k \}$$

ที่นี่คุณกำลังแสดงรายการคู่ทั้งหมดที่อยู่ในสี่เหลี่ยมผืนผ้า $[0,n] \times [0,m]$ และในบรรทัด $i + j = k$.

ดังนั้นชุดของชุดเหล่านี้ $J_k$ จะให้พาร์ติชันของสี่เหลี่ยมผืนผ้านั้น“ แนวทแยงมุม”