การบรรจบกันของลำดับของฟังก์ชันที่เป็นศูนย์เกือบทุกแห่ง

Question

ปล่อย $B([a , b])$ เป็นพื้นที่ของฟังก์ชันที่มีขอบเขตและสามารถวัดได้จากช่วงเวลาที่มีขอบเขตปิด $[a , b]$ เป็น $\mathbb R$กอปรด้วยบรรทัดฐาน sup ฉันรู้ว่านี่คือพื้นที่ Banach

ตอนนี้ให้พิจารณาพื้นที่ย่อยเวกเตอร์ต่อไปนี้ของ $B([a , b])$:

$$L_{0} = \{ f : [a , b] → R │ f = 0 \text{ almost everywhere} \}$$

วิธีการแสดงนั้น $L_{0}$ เป็นพื้นที่ย่อยปิดของ $B([a , b])$.

ความพยายามของฉันมีดังนี้:

ปล่อย $f \in B([a , b])$ เป็นจุด จำกัด ของ $L_{0}$. จากนั้นมีลำดับ$( f_{n} )$ ใน $L_{0}$ ดังนั้น $f_{n} → f$ สม่ำเสมอและด้วยเหตุนี้ $f_{n} (x) = f (x)$ เพื่อทุกสิ่ง $x \in [a , b]$. ตั้งแต่ตอนนี้$f_{n} = 0$ สำหรับทุกคน $n\in\mathbb N$ และเนื่องจากจุดตัดที่นับได้ของส่วนย่อยการวัดเต็มจึงเป็นชุดย่อยการวัดแบบเต็มดังนั้น $f = 0$ae การแก้ไขใด ๆ หากผิดพลาดจะได้รับการชื่นชมอย่างมาก ขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือใด ๆ

Answer 1

ปล่อย $(f_n)\in L_0^{\mathbb N}$ ลำดับของ $L_0$ ที่แปลงเป็นฟังก์ชัน $f$. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,$f_n(x)\to f(x)$ ae และดังนั้น $f=0$ ae เพราะฉะนั้น $L_0$ ปิดตามลำดับจึงปิด