การแจกแจงปกติตามเงื่อนไข [ซ้ำกัน]

Question

ฉันต้องการหาการแจกแจงแบบปกติสองตัวแปรตามเงื่อนไข มีตัวแปรปกติตามสองตัวแปรที่มีการแจกแจงแบบเดียวกันและค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์$\rho$: $X,Y \sim N(\mu, \sigma^2)$. ฉันต้องการที่จะได้รับ$P(X|Y>M)$.

ฉันพบความคาดหวังตามเงื่อนไขของ $X$ ให้สิ่งนั้น $Y$ ใหญ่กว่า $M$: $E(X|Y>M)= \mu + \rho \sigma \frac{\phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}{1-\Phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}$.

แต่ความแปรปรวนตามเงื่อนไขของ $var(X|Y>M)$เหรอ? ใช่ไหม$(1-\rho^2)\sigma^2 $เช่นเดียวกับในกรณีของ $var(X|Y=M)$โดยที่ความแปรปรวนไม่ขึ้นอยู่กับ $M$เหรอ?

และเป็นการแจกแจงแบบมีเงื่อนไข $N(E(X|Y>M),var(X|Y>M))$เหรอ?

Answer 1

ความแปรปรวนตามเงื่อนไขขึ้นอยู่กับ $M$.

ฉันไม่พบรูปแบบปิดสำหรับความแปรปรวนตามเงื่อนไข แต่ฉันสามารถหารูปแบบปิดสำหรับความหนาแน่นได้ ฉันพบโดยเริ่มต้นด้วยฟังก์ชันการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขโดยใช้นิยามของความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขจากนั้นจึงแยกความแตกต่างเพื่อหาความหนาแน่นตามเงื่อนไข

ความหนาแน่นโดยใช้รูปแบบการป้อนข้อมูล Mathematica คือ:

(((mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] - 
  ((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] + 
  (1 + Erf[Sqrt[(2*s^2 - 2*rho^2*s^2)^(-1)]*(mu - mu*rho + rho*t)])/Sqrt[(s^2 - rho^2*s^2)^(-1)])/(2*E^((mu - t)^2/(2*s^2))*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[(1 - rho^2)*s^4]*(1 - Erfc[(-M + mu)/(Sqrt[2]*s)]/2))

สูตรของคุณสำหรับค่าเฉลี่ยตามเงื่อนไขถูกต้อง

ฉันรู้ว่าความแปรปรวนของเงื่อนไขขึ้นอยู่กับ $M$ เพราะฉันคำนวณโดยการรวมตัวเลข