การจำแนกประเภทของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนระนาบครึ่งขวาพร้อมเงื่อนไขบางประการ
ปัญหาต่อไปนี้มาจากการสอบก่อนการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนแบบเก่า:
กำหนดฟังก์ชันการวิเคราะห์ทั้งหมด $f: H \rightarrow \mathbb{C}$ บนเครื่องบินครึ่งลำ $H : = \{ z\in \mathbb{C} : \Re(z) > 0 \}$ ที่ตอบสนอง $f(\sqrt{n}) = n$ และ $|f^{(n)}(1)| \leq 3$ สำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมด $n$.
อย่างชัดเจน $f(z) = z^2$เป็นไปตามนี้และฉันต้องการแสดงให้เห็นว่านี่เป็นเพียงตัวอย่างเดียว โปรดทราบว่า$f(z) = z^2 + \epsilon \sin(\pi z^2)$ ไม่ปฏิบัติตามอนุพันธ์ที่ผูกไว้สำหรับข้อใด ๆ $\epsilon > 0$. นอกจากนี้ขอบเขตอนุพันธ์ยังหมายความว่าสิ่งนั้น ๆ$f$ คือการวิเคราะห์และเลขชี้กำลังย่อยตามลำดับ 1 ฉันสามารถใช้ทฤษฎีบทของคาร์ลสันเพื่อแสดงว่า $h(z): =f(z) - z^2$ เป็นศูนย์พอดี แต่ดูเหมือนว่าจะเป็นค้อนที่หนักมากที่จะใช้สำหรับปัญหาเบื้องต้น
คำแนะนำใด ๆ เกี่ยวกับการพิสูจน์ที่ง่ายกว่านั้นจะได้รับการชื่นชมอย่างมาก!
คำตอบ
ปล่อย $g(z)=f(z+1)-(z+1)^2, g(0)=0$; ตั้งแต่$|g^{(n)}(0)| \le 3, n \ge 3$ เราได้รับสิ่งนั้น $g$ กำหนดเดิมเมื่อ $\Re z >-1$ ขยายไปยังฟังก์ชันทั้งหมดที่ตอบสนอง $|g(z)| \le 3e^{|z|}+|z+1|^2, g(\sqrt n-1)=0, n \ge 1$.
สมมติ $g$ ไม่ใช่ศูนย์และ $k \ge 1$ ลำดับของศูนย์ของ $g$ ที่ $0$. แล้วถ้า$M_g(R)= \max_{|z|=R}|g(z)| \le 4e^R, R \ge R_0$ จำนวน $N(R) \ge [R^2]$ ของศูนย์ของ $g$ ด้วย $|z|\le R$ ความพึงพอใจ (โดย Jensen theorem):
$\int_0^R \frac{N(t)-k}{t}dt+k \log R+\log |\frac{g^{(k)}(0)}{k!}|=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log |g(Re^{it})|dt$
ดังนั้นโดยใช้วิชาเอกง่าย ๆ $N(t)-k \ge [t^2]-1 \ge (t/2)^2, t \ge 10$หนึ่งได้รับ:
$R^2/8-M \le LHS \le \log 4 + R, R \ge R_0$ สำหรับค่าคงที่ $M$ ที่รวมอินทิกรัลบน LHS จาก $0$ เพื่อพูด $10$ และ $\log |\frac{g^{(k)}(0)}{k!}|$ดังนั้นเราจึงมีความขัดแย้งกับขนาดใหญ่ $R$