การชี้แจงโซลูชันการสรุป
ฉันกำลังอ่านวิธีแก้ปัญหาและระบุสิ่งนี้: $$\sum_{a_1 = 0}^\infty \sum_{a_2 = 0}^\infty \dotsb \sum_{a_7 = 0}^\infty \left( \frac{a_1}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}} + \frac{a_2}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}} + \dots + \frac{a_7}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}} \right) = 7 \sum_{a_1 = 0}^\infty \sum_{a_2 = 0}^\infty \dotsb \sum_{a_7 = 0}^\infty \frac{a_1}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}}.$$ฉันมีความเข้าใจว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น - อาจจะเป็นสัญชาตญาณมากกว่าที่จะพูดตรงๆ แต่ฉันไม่เข้าใจทั้งหมด ใครสามารถชี้แจง? ขอบคุณล่วงหน้า.
คำตอบ
เพื่อดูว่าเกิดอะไรขึ้นก็เพียงพอที่จะพิจารณาอนุกรมคู่ สมมติว่าซีรีส์บรรจบกันอย่างแน่นอนเราได้รับ
\begin{align*} \color{blue}{\sum_{a_1=0}^{\infty}}\color{blue}{\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1+a_2}{3^{a_1+a_2}}} &=\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}+\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_2}{3^{a_1+a_2}}\\ &=\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}+\sum_{a_2=0}^{\infty}\sum_{a_1=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_2+a_1}}\tag{1}\\ &=\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}+\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}\tag{2}\\ &\,\,\color{blue}{=2\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}} \end{align*}
ความคิดเห็น:
ใน (1) เราเปลี่ยนชื่อในอนุกรมคู่ขวาสุด $a_1$ ด้วย $a_2$ และ $a_2$ ด้วย $a_1$.
ใน (2) เราเรียงลำดับใหม่