การให้เหตุผลแบบวงกลมในการพิสูจน์ $\lim_{x\to a}(\sin x) = \sin a$
ฉันเพิ่งเริ่มเรียนรู้เกี่ยวกับการพิสูจน์ขีด จำกัด epsilon-delta และฉันต้องการทราบวิธีพิสูจน์โดยใช้คำจำกัดความ epsilon-delta ของขีด จำกัด ที่ $\lim_{x\to a}(\sin x) = \sin a$
ฉันพยายามและล้มเหลวดังนั้นฉันจึงค้นหาออนไลน์และพบว่าเคล็ดลับคือการใช้ข้อมูลประจำตัว $\sin x < x$. ฉันไม่พบข้อพิสูจน์ใด ๆ ที่ไม่ใช้ตัวตนนี้
ฉันไม่เคยเห็นตัวตนนี้มาก่อนดังนั้นฉันจึงค้นหาหลักฐานและพบข้อพิสูจน์นี้ที่ใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย อีกครั้งฉันยังไม่ได้เรียนรู้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย แต่ตามเว็บไซต์นั้นต้องการฟังก์ชันต่อเนื่อง (และแตกต่างได้)$f$.
แต่แนวคิดเรื่องความต่อเนื่องถูกกำหนดโดยใช้นิยามขีด จำกัด epsilon-delta! ในความเป็นจริงนั้น$\sin(x)$ ต่อเนื่องเป็นข้อความที่ฉันพยายามพิสูจน์ข้างต้น: $\lim_{x\to a}(\sin x) = \sin a$
นี่เป็นการให้เหตุผลแบบวงกลมอย่างชัดเจน คำถามของฉันคือใครจะหนีมันได้อย่างไร ต้องมีวิธีพิสูจน์$\lim_{x\to a}(\sin x) = \sin a$ ไม่มีตัวตน $\sin x < x$หรือเราต้องพิสูจน์ $\sin x < x$โดยปราศจากความจริงที่ว่าบาปจะเกิดขึ้นอย่างต่อเนื่อง หรือฉันคิดว่าอาจมีตัวเลือกที่ 3? ไม่พบคำตอบว่าต้องทำอย่างไรซึ่งแปลกที่สุด ...
คำตอบ
วิธีการวิเคราะห์อย่างมากคือการเริ่มต้นจากปริพันธ์และกำหนด $\log, \exp, \sin$ และแสดงให้เห็นว่าสิ่งเหล่านี้ราบรื่นและต่อเนื่องบนโดเมนของพวกเขา
อันดับแรกเรากำหนดลอการิทึมธรรมชาติโดย $$ \ln x := \int_1^x \frac{dt}{t} $$ มันง่ายมากที่จะแสดงกฎลอการิทึมโดยใช้นิยามนี้และกฎการรวมและที่ $\ln$ มีความแตกต่าง
จากนั้นเรากำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นผกผัน $$ \exp := \ln^{-1} $$ โดยทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน $\exp$ มีความแตกต่างและต่อเนื่อง
ชุด Maclaurin / Laurent ของ $\exp$ มีรัศมีการบรรจบกันไม่สิ้นสุดดังนั้น $\exp$ สามารถขยายได้จาก $\mathbb{R}$ เพื่อการทำงานที่ราบรื่นในทุกด้าน $\mathbb{C}.$ เราจึงสามารถกำหนดฟังก์ชัน $\sin$ โดย $$ \sin x := \frac{\exp(ix)-\exp(-ix)}{2i} $$ ซึ่งจะราบรื่นและต่อเนื่อง
เราสามารถทำได้ด้วยอัตลักษณ์ตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับเอกลักษณ์การเพิ่มมุม$$\sin(x + \delta) = \sin(x) \cos(\delta) + \cos(x) \sin(\delta),$$ มันเพียงพอที่จะพิสูจน์ความต่อเนื่องของ $\sin(x)$ และ $\cos(x)$ เช่น $x \to 0$. ไม่เพียงแค่นั้น แต่ตั้งแต่นั้นมา$\sin(-x) = -\sin(x)$ และ $\cos(-x) = \cos(x)$ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ความต่อเนื่องที่ถูกต้องเป็น$x \to 0^+$.
นอกจากนี้เรายังจะใช้คุณสมบัติที่ $\sin(x)$ เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ $[0, \pi/2)$ และ $\cos(x)$ กำลังลดลงในช่วงเวลาเดียวกันนั่นคือ $\sin(0) = 0$, $\cos(0) = 1$และนั่น $\sin(\pi/4) = \cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2.$
สมมุติว่าคุณให้ค่า $\epsilon > 0$และคุณต้องการให้ฉันหาค่าของ $\delta > 0$ ดังนั้น $\sin([0, \delta)) \subseteq [0, \epsilon)$. เพราะ$\sin(x)$ เพิ่มมากขึ้นก็พอที่จะหาได้ $\delta$ ดังนั้น $\sin(\delta) < \epsilon$. เริ่มจาก$x = \pi/4$ฉันสามารถใช้อัตลักษณ์ครึ่งมุมซ้ำ ๆ $$\sin \left( \frac{x}{2} \right) = \sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}} = \sqrt{1 - \cos^2(x)} \sqrt{\frac{1}{2(1 + \cos(x))}} = \sin(x) \sqrt{\frac{1}{2(1 + \cos(x))}}.$$
บน $[0, \pi/4]$, $\sqrt{2}/2 \leq \cos(x) \leq 1$. ตั้งแต่$\sqrt{2}/2 > 7/18$, เรามี $2(1 + \cos(x)) \geq 2(1 + 7/18) = 25/9$ ในช่วงนี้ซึ่งแสดงถึง
\begin{align*} \sin \left( \frac{x}{2} \right) &\leq \frac{3}{5} \sin(x), \\ \sin \left( \frac{x}{2^n} \right) &\leq \left( \frac{3}{5} \right)^n \sin(x), \ \end{align*}
สำหรับใด ๆ $x \in [0, \pi/4]$. เพราะฉะนั้นถ้าคุณบอกฉัน$\epsilon$ฉันสามารถหาค่าของ $N$ ดังนั้น $\frac{\sqrt{2}}{2}\left( \frac{3}{5} \right)^N < \epsilon$แล้วค่าของฉันเป็น $\delta$ คือ $\frac{\pi}{4*2^N} = \frac{\pi}{2^{N+2}}$. สิ่งนี้พิสูจน์ได้ว่า$\lim_{x \to 0^+} \sin(x) = 0$.
เพราะ $\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}$ก็ยังเป็นไปตามนั้น $$\lim_{x \to 0^+} \cos(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{1 - \sin^2(x)} = \sqrt{1 - 0^2} = 1,$$ และเรามีความต่อเนื่องที่ถูกต้องที่จำเป็นของ $\sin(x)$ และ $\cos(x)$ ที่ $x = 0$. QED
มันง่ายมากที่จะพิสูจน์ว่า $sin$ มีความต่อเนื่องที่ศูนย์โดยมีความหมายหลังจากถ่าย $\delta = \varepsilon$. เมื่อคุณทำเช่นนั้นสูตร (5) ใน @ user2661923 (ด้านบน) โพสต์จะนำคุณไปสู่เหตุผลที่ดีอย่างเป็นทางการของความต่อเนื่องของ$sin$ (ใช้ที่ $cos$ มีขอบเขต)
ฉันเห็นด้วยกับตรรกะของ OP ที่ว่าการให้เหตุผลแบบวงกลมเกี่ยวข้อง อันที่จริงฉันใช้ "Calculus 2nd Ed" โดย Apostol เพื่อศึกษาแคลคูลัส ในหนังสือเล่มนั้น Apostol ได้แนะนำแนวคิดเกี่ยวกับฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ตามแนวแกนโดยระบุว่าเขาต้องการค้นหาฟังก์ชันที่ตอบสนองความจริง 4 ประการต่อไปนี้:
(1) ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้ทุกที่บนเส้นจริง
(2) ค่าพิเศษ: $\cos 0 = \sin(\pi/2) = 1, \;cos \,\pi = -1.$
(3) $\cos(y - x) = \cos y \cos x + \sin y \sin x.$
(4) สำหรับ $0 < x < \pi/2$:
$\displaystyle 0 < \cos x < \frac{\sin x}{x} < \frac{1}{\cos x}.$
Apostol ในเวลาต่อมา:
(a)
แสดงให้เห็นทางเรขาคณิตว่าความคิดดั้งเดิมของไซน์และโคไซน์เป็นไปตามสัจพจน์ข้างต้นตราบเท่าที่$\sin x, \,\cos x$ ถูกตีความว่า $\sin x$ เรเดียน $\cos x$ เรเดียน: ที่ไหน $2\pi$ เรเดียน = $360^{\circ}.$
(b)
แสดงให้เห็นว่าอัตลักษณ์ตรีโกณมิติอื่น ๆ ทั้งหมดรวมถึงสิ่งที่เกี่ยวข้องกับความต่อเนื่องความแตกต่างการรวมและอนุกรมเทย์เลอร์ของการไหลของไซน์และโคไซน์จากสัจพจน์เหล่านี้
....................
ถ้าฉันเข้าใจคำถามของ OP อย่างถูกต้องเขาต้องการที่จะระบุว่าฟังก์ชันไซน์นั้นต่อเนื่องกันทุกที่โดยไม่ได้รับประโยชน์จากสัจพจน์ (4) ข้างต้น
มันยากมากสำหรับฉันที่จะตัดสินว่าเป็นไปได้หรือไม่ มันเป็นเรื่องยากมากที่จะได้อย่างแม่นยำตรวจสอบว่าผลที่ตามมาulimatelyต้องความจริง (4) ดังกล่าวข้างต้น
บางทีคำถามที่แท้จริงคือ - อะไรคือทางออกที่ตั้งใจไว้? ฉันจะแทงมัน ในความพยายามของฉัน (ด้านล่าง) ฉันสมมติว่าฟังก์ชันไซน์ต่อเนื่องที่$x = 0.$ อาจเป็นที่ถกเถียงกันได้อย่างง่ายดายในแง่ของสิ่งที่ OP กำลังถูกขอให้พิสูจน์ว่าข้อสันนิษฐานนี้ไม่มีเหตุผล
จากความรู้ของฉันอย่างดีที่สุดหนึ่งในผลของสัจพจน์ (1) ถึง (3) ข้างต้นคือ [เช่นสัจพจน์ (4) ไม่ได้ใช้ที่นี่]:
(5) $\displaystyle \sin x - \sin a = 2 \sin\left(\frac{x - a}{2}\right) \times \cos\left(\frac{x + a}{2}\right).$
เนื่องจากฟังก์ชันโคไซน์เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขต [เช่นสำหรับทุกคน $\theta, |\cos \theta| \leq 1|$],
(5) บอกเป็นนัยว่า$|\sin x - \sin a| \leq 2 \left|\sin\left(\frac{x - a}{2}\right)\right|.$
สำหรับฉันดูเหมือนว่างานมอบหมายคือการแสดงให้ทุกคนเห็น $\epsilon > 0,$ มีอยู่ $\delta > 0$ ดังนั้น
$0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |(\sin x) - (\sin a)| < \epsilon.$
เลือก $\delta > 0$ ดังนั้น $\sin (\delta/2) < \epsilon/2.$
เนื่องจากฟังก์ชันไซน์จะถือว่าต่อเนื่องที่ $x = 0,$ซึ่งหมายความว่า
(6) ถ้า$|(x - a)| < \delta,$ แล้ว $|\sin\left(\frac{x - a}{2}\right)| < \sin (\delta/2) < \epsilon/2$
ตามความจำเป็น.
ภาคผนวก
ในการทบทวนความพยายามของฉันข้างต้นฉันสังเกตเห็นว่าฉันลืมเพิ่มสิ่งนั้น (ให้ดีที่สุดเท่าที่ฉันจะรู้ได้) หนึ่งในผลที่ตามมาของสัจพจน์ (1) ถึง (3) [เช่นสัจพจน์ (4) อีกครั้งที่ไม่ได้ใช้] นั่นคือ
$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1.$
ผลลัพธ์นี้สนับสนุนสมมติฐานที่ว่าฟังก์ชันโคไซน์ถูกล้อมรอบด้วย $\pm 1.$
ภาคผนวก -2
แม้ว่ารอบเหตุผล (6) เป็นdoableการนำเสนอของฉันที่นี่ก็ยังประมาท
เนื่องจากฟังก์ชันไซน์ถือว่าต่อเนื่องที่ $\theta = 0,$มีอยู่พื้นที่ใกล้เคียง
รอบ ๆ$(\theta = 0)$ ดังนั้น $\alpha$ ภายในละแวกนี้บอกเป็นนัยว่า
$|\sin(\alpha/2)| < \sin(\delta/2).$
ดังนั้น, $(x-a)$ ต้องถูก จำกัด ให้อยู่ในละแวกนี้