การแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้น: แสดงความเป็นเอกลักษณ์หรือหลายหลากของการแก้ปัญหา
พิจารณาระบบนี้ของ $12$ สมการ $$ \left\{\begin{array}{rcrclr} \alpha^{2}p_{i} & + & \left(1 - \alpha\right)^{2}\left(1 - p_{i}\right) & = & c_{i}, & \forall i =1,2,3,4 \\[1mm] \alpha\left(1 - \alpha\right)p_{i} & + & \left(1 - \alpha\right)\alpha\left(1 - p_{i}\right) & = & d_{i}, & \forall i =1,2,3,4 \\[1mm] \left(1 - \alpha\right)^{2}p_{i} & + & \alpha^{2}\left(1 - p_{i}\right) & = & e_i, & \forall i =1,2,3,4 \end{array}\right. $$ ที่ไหน
$\alpha \in \left[0,1\right]$
$p_{i} \in \left[0,1\right]$ $\forall i = 1, 2, 3, 4$
$c_{i}, d_{i}, e_{i}$ เป็นตัวเลขจริง $\forall i = 1, 2, 3, 4$.
ฉันต้องการแสดงให้เห็นว่าระบบสมการนี้มี (หรือไม่มี) คำตอบเฉพาะที่เกี่ยวกับ $\alpha, p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$. คุณช่วยได้ไหม ?.
นี่คือสิ่งที่ฉันได้ลองและจุดที่ฉันซ้อนกัน ปล่อย $i = 1$. จากสมการที่สองเราได้ $$ \alpha - \alpha^{2} = d_{1} $$ ซึ่งจะช่วยให้ $$ \alpha_{\left(1\right)} = \frac{1 + \sqrt{1 - 4d_{1}}}{2},\quad \alpha_{\left(2\right)} = \frac{1 - \sqrt{1 - 4d_{1}}}{2} $$ จากสมการแรกเราจะได้รับ $p_{1}$. จากสมการอื่นฉันเดาว่าเราสามารถได้รับแบบอะนาล็อก $p_{2}, p_{3}, p_{4}$.
นี่เพียงพอหรือไม่ที่จะแสดงว่าระบบไม่มีโซลูชันเฉพาะ หรือมีวิธีการยกเว้นระหว่าง$\alpha_{\left(1\right)},\alpha_{\left(2\right)}$ ?.
คำตอบ
อย่างที่คุณสังเกตเห็นว่าสมการสี่ตัวที่สองลดเป็น $\alpha-\alpha^2=d_i$. ดังนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับระบบที่จะมีทางออกคือ$0\le d=d_1=d_2=d_3=d_4\le \frac 14$. สมการที่เหลือลดเป็น$$p_i(2\alpha-1)=c_i-(\alpha-1)^2=\alpha^2-e_i.$$ มันเป็นไปตาม $2\alpha^2-2\alpha=c_i+e_i-1=-2d_i$. นี่เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นอื่น ๆ เพื่อให้ระบบมีทางออก เราถือว่าทั้งสองกลุ่มของเงื่อนไขจำเป็นต้องมี ตอนนี้เป็นไปได้กรณีต่อไปนี้
1)) $d=\tfrac 14$. แล้ว$\alpha=\tfrac 12$. แล้ว$p_i$ ไม่ได้กำหนดโดยระบบและมีโซลูชัน (ไม่ซ้ำกัน) iff $e_i=\alpha^2=\frac 14$ แต่ละ $i$
2)) $0\le d<\frac 14$. จากนั้นมีสองทางเลือกที่เป็นไปได้$\alpha_1$ และ $\alpha_2$ สำหรับ $\alpha$ และ
$$p_i=\frac{\alpha^2-e_i}{2\alpha-1}=\frac{\alpha-d-e_i}{2\alpha-1}=\frac 12+\frac{1/2-d-e_i}{2\alpha-1}.$$
เรามี $p_i\in [0,1]$ iff $|1-2d-2e_i |\le |2\alpha-1|=|2\alpha_j-1|$ แต่ละ $i$. หากเงื่อนไขนี้ล้มเหลวสำหรับบางคน$i$จากนั้นระบบไม่มีทางแก้ไข มิฉะนั้นจะมีสองวิธีแก้ปัญหาสำหรับแต่ละข้อ$\alpha_j$.