การแก้ $x^3-3x^2+4x-12=0$ ไม่มีแฟคตอริ่ง (Cardano's Method)
คำถาม: แก้ $$x^3-3x^2+4x-12=0$$ โดยไม่ใช้การแยกตัวประกอบ (วิธีของ Cardano?)
ดังนั้นฉันต้องกดสมการก่อนดังนั้นฉันจึงทำการแทนที่ $x=z+1$. เรารู้ว่านี่คือการทดแทนเพราะมันควรจะอยู่ในรูปแบบ$z-\frac{a_2}{3a_3}=z-\frac{-3}{3(1)}=z+1$. สิ่งนี้ทำให้เรา
$$z^3+z-10=0$$
ด้วยวิธีการของ Cardano เรารู้ดีว่า $p=1$ และ $q=-10$. ดังนั้นเราจึงมีสิ่งนั้น
$$1=-3ab \qquad -10=-a^3-b^3$$
การแก้ระบบนี้ให้ (ฉันเชื่อว่า) สำหรับ $a$ ให้
$$a=\sqrt[3]{5\pm\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
$$b=\sqrt[3]{5\mp\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
และอื่น ๆ
$$z=a+b=\sqrt[3]{5\pm\frac{26\sqrt{3}}{9}}+\sqrt[3]{5\mp\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
ฉันพยายามลดสิ่งนี้ให้ดีที่สุดเท่าที่จะทำได้ แต่ไม่สามารถหาวิธีแก้ปัญหาได้เลย
ถ้าผมแยกตัวประกอบสมการเดิมผมควร getg
$$x^3-3x^2+4x-12=x^2(x-3)+4(x-3)=(x^2+4)(x-3) \Rightarrow x=3, \pm2i$$
แล้วฉันทำผิดพลาดตรงไหน?
คำตอบ
การคำนวณของคุณถูกต้อง แต่จำเป็นต้องทำตามวิธีของ Cardano ให้เสร็จสิ้น เมื่อคุณคำนวณแล้ว$a$ และ $b$รากของลูกบาศก์ที่หดหู่มีดังนี้:
$$ \displaystyle z_{1}=a+b \\ {\displaystyle z_{2}=a\cdot \left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+b\cdot \left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)} \\ {\displaystyle z_{3}=a\cdot \left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+b\cdot \left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)} $$
เนื่องจากในกรณีของคุณ $a=1+2/\sqrt{3}$ และ $b=1-2/\sqrt{3}$ (ดูขั้นตอนการปฏิเสธเพื่อรับค่าเหล่านี้ด้านล่าง) สูตรให้
$$z_1=2 \\ z_2=-1+2 i \\ z_3=-1-2 i$$
เช่น $x=z+1$, คุณมี
$$x_1=3 \\ x_2=2 i \\ x_3=-2 i$$
แก้ไข: ตามที่ระบุไว้อย่างถูกต้องในความคิดเห็นประเด็นสำคัญในการใช้วิธีการของ Cardano คือในบางกรณีมีความจำเป็นต้องปฏิเสธรากลูกบาศก์บางส่วน บางครั้งอาจจะค่อนข้างยาก ก่อนหน้านี้มีรายงานวิธีการบางอย่างในลิงก์ที่ให้ไว้ในหนึ่งในความคิดเห็น ฉันขอแนะนำแนวทางที่เป็นไปได้ซึ่งบางครั้งก็ใช้ได้ดีกับเรดิแคนด์ของแบบฟอร์ม$J+K\sqrt{n}$. วิธีการรวมถึงขั้นตอนเหล่านี้:
ตั้งค่ารูทคิวบ์ในรูปแบบ $\sqrt[3]{J\pm K\sqrt{n}}$กับ $J$ และ $K$ จำนวนเต็ม;
สมมติว่า radicand $A=J\pm K\sqrt{n}$ สามารถแสดงเป็น $(j\pm k\sqrt{n})^3$กับ $j$ และ $k$ สรุปตัวเลข;
หลังจากขยาย $(j\pm k\sqrt{n})^3$ และแบ่งคำศัพท์ออกเป็นสองกลุ่มที่มีผลรวมเท่ากับ $J$ และ $K\sqrt{n}$ใช้สมการผลลัพธ์เพื่อกำหนด $j/k$. นี่เป็นขั้นตอนที่ยาวขึ้นเนื่องจากต้องค้นหารากที่เป็นเหตุเป็นผลของสมการกำลังสองใหม่โดยใช้ทฤษฎีบทรากเหตุผลซึ่งบางครั้งอาจยุ่งยาก
สุดท้ายกำหนดค่าของ $j$ และ $k$.
เพื่อให้อธิบายวิธีนี้ได้ดีขึ้นให้เราลองใช้สำหรับกรณีเฉพาะ $\sqrt[3]{5+ \frac{26\sqrt{3}}{9}}$ (วิธีเดียวกันนี้สามารถใช้ได้กับกรณีที่เรดิแคนด์อยู่ $5-\frac{26\sqrt{3}}{9}$). ประการแรกเราต้องตั้งค่าเรดิแคนด์เพื่อให้$J$ และ $K$ เป็นจำนวนเต็ม:
$$\sqrt[3]{5 + \frac{26\sqrt{3}}{9}}=\frac{1}{3} \sqrt[3]{135+ 78\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \sqrt[3]{A} $$
ตอนนี้ให้เราตั้งสมมติฐาน $A=(j+k\sqrt{3})^3$. ดังนั้น
$$A= j^3+3\sqrt{3}j^2k+ 9jk^2+3\sqrt{3}k^3\\ =j(j^2+9k^2)+3k(j^2+k^2)\sqrt{3}$$
เพื่อที่เราจะได้เขียน
$$j(j^2+9k^2)=135\\ 3k(j^2+k^2)=78$$
โปรดทราบว่า $j$ และ $k$ต้องเป็นทั้งบวก จากสองสมการข้างต้นเรามี
$$78\cdot j(j^2+9k^2) =135\cdot 3k(j^2+k^2)$$
ตอนนี้เราต้องพยายามกำหนด $j/k$. แบ่งสมาชิกทั้งสองเป็น$k^3$ และย้ายข้อกำหนดทั้งหมดไปยัง LHS เรามี
$$78\left(\frac{j}{k}\right)^3 - 405 \left(\frac{j}{k}\right)^2 + 702\left(\frac{j}{k}\right) - 405=0 $$
การตั้งค่า $x=j/k$ และทำให้ค่าสัมประสิทธิ์ง่ายขึ้นเราได้
$$26 x^3-135 x^2+234x-135=0$$
การใช้ทฤษฎีบทรากที่เป็นเหตุเป็นผลเราสามารถค้นหารากที่มีเหตุผลได้ $p/q$ สำหรับสมการสุดท้ายโดยที่จำนวนเต็ม $p$ หาร $135=3^3\cdot 5$ และจำนวนเต็ม $q$ หาร $26=2\cdot 13$. เพื่อเพิ่มความเร็วในการค้นหารูทจริงสามารถสังเกตได้ว่าสำหรับ$x=1$ และ $x=2$ LHS ให้ $-10$ และ $1$ตามลำดับเพื่อให้ค่าของหนึ่งรูทจริงต้องอยู่ระหว่าง $1$ และ $2$. หลังจากการทดลองเพียงไม่กี่ครั้งเราก็ได้รับ$x=3/2$. จากนั้นสามารถเขียนสมการใหม่เป็น
$$\left(x-\frac 32\right)\left( 26x^2-96x+90\right)=0$$
จากที่เราเข้าใจโดยตรงว่าอีกสองรากนั้นไม่ใช่ของจริง
ตั้งแต่ $x=j/k=3/2$ในที่สุดเราก็สามารถระบุได้ $j$ และ $k$ โดยทำการเปลี่ยนตัว $k=2j/3$ในสมการเริ่มต้น ตัวอย่างเช่นการแทนที่ในสมการ$(j^2+9k^2)=135$, เรามี
$$j\left[j^2+9\left(\frac{2j}{3}\right)^2\right]=135$$ $$5j^3=135$$
และเตือนว่า $j$ และ $k$ เป็นบวก
$$j=3$$
$$k=2$$
ตอนนี้เราสามารถสรุปได้ว่า
$$A=(3+2\sqrt{3})^3$$
เพื่อให้ลูกบาศก์รูทเริ่มต้นคือ
$$\sqrt[3]{5 + \frac{26\sqrt{3}}{9}}=\frac 13 \sqrt[3]{A}= \frac 13 \left(3+2\sqrt{3}\right)\\=1+\frac{2}{\sqrt{3}}$$
อีกครั้งต้องชี้ให้เห็นว่าวิธีนี้ใช้ได้เฉพาะในบางกรณี (แม้ว่าจะมีเหตุผลก็ตาม $j$ และ $k$ มีอยู่ขั้นตอน จำกัด ที่สำคัญที่สุดคือการค้นหารากที่มีเหตุผล $x$ซึ่งตามที่ระบุไว้แล้วอาจเป็นเรื่องยากมาก)
นอกเหนือจากการทดแทนด้านหลัง $x=z+1$เพื่อให้กระบวนการแก้ปัญหาเสร็จสมบูรณ์คุณไม่ผิด โดยทั่วไปแล้วcasus irreducibilisมีคำอธิบายสำหรับสมการลูกบาศก์ที่มีรากจริงสามตัว แต่ปัญหาที่คล้ายกันนี้เกิดขึ้นเมื่อคุณมีรากที่มีเหตุผล (และในกรณีนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นรากทั้งสาม) คุณไม่สามารถลดความซับซ้อนของการแสดงออกที่รุนแรงเพื่อดึงข้อมูลได้$z=2$ในเชิงวิเคราะห์; คุณต้องเดารากที่เป็นเหตุเป็นผลก่อนล่วงหน้า (หรือทำการเดาที่เทียบเท่ากับสมการลูกบาศก์อื่นที่มีโครงสร้างคล้ายกันดังที่กล่าวไว้ในคำตอบอื่น)
เมื่อฉันใส่นิพจน์ของคุณสำหรับ $z$ เป็นเครื่องคิดเลขที่ฉันได้รับ $2.000000...$ซึ่งดูเหมือนจะค่อนข้างใกล้เคียงกับค่าที่คุณต้องการ $z=2$.