การกำหนดแนวทางแก้ไขปัญหาการแผ่รังสีความร้อน
โปรดพิจารณาปัญหาการแผ่รังสีความร้อนนี้
เบื้องต้น / ความเป็นมา: ร่างกายสีดำทรงกลมB1เหมือนดาวอยู่ในสภาพแวดล้อมที่ไม่มีวัตถุอื่นที่ใช้ความร้อนอยู่ใกล้ ๆ อวกาศมีอุณหภูมิ 0 K ร่างกายมีปฏิกิริยาภายใน (นิวเคลียร์) ซึ่งทำให้อุณหภูมิพื้นผิวเท่ากับ 1,000 K เมื่ออยู่ในสภาวะคงที่ในการตั้งค่านี้ ที่คล้ายกัน (รัศมีเดียวกันมวลแพร่กระจายความร้อน) ทรงกลมสีดำB2 , ในการตั้งค่าเดียวกันมีปฏิกิริยานิวเคลียร์ที่ทำให้อุณหภูมิพื้นผิวของมันจะเป็นเพียง 900 เค
ปัญหา: ตอนนี้Body B1เข้าใกล้B2มากพอ(กล่าวว่าพื้นผิวของพวกมันถูกคั่นด้วยระยะทาง 2x ของรัศมี) เพื่อทำให้เกิดสภาวะคงตัวใหม่ ไม่สนใจแรงโน้มถ่วง
ฉันจะคำนวณอุณหภูมิใหม่ของร่างกายได้อย่างไรหลังจากที่พวกมันมีปฏิกิริยาทางความร้อน จำเป็นต้องมีข้อมูลอะไรอีกบ้าง? เป็นเรื่องง่ายที่อุณหภูมิของทั้งสองจะเพิ่มขึ้นจากกรณีที่พวกเขาแยกจากกันเนื่องจากพวกเขาเปลี่ยนจากการมีปฏิสัมพันธ์ทางความร้อนกับสภาพแวดล้อมที่ 0 K ไปยังสภาพแวดล้อมโดยเฉลี่ยที่สูงกว่า 0 K (เนื่องจากสภาพแวดล้อมของทั้งสองในขณะนี้รวมถึงอุณหภูมิอื่น ๆ ) . สมมติว่าปฏิกิริยานิวเคลียร์ภายในแต่ละปฏิกิริยาไม่ได้รับผลกระทบจากการปรากฏตัวของอีกปฏิกิริยา ฉันแน่ใจว่าจำเป็นต้องมีข้อมูลเพิ่มเติมเพื่อคำนวณอุณหภูมิสถานะคงที่ใหม่ของแต่ละอุณหภูมิ ข้อมูลนั้นจะเป็นอย่างไร หากเราถือว่าการนำความร้อนใกล้ไม่มีที่สิ้นสุดเช่นร่างกายแต่ละส่วนอยู่ในอุณหภูมิที่สม่ำเสมอก็จะทำให้ปัญหาง่ายขึ้น ดูเหมือนชัดเจนว่าเราต้องการความจุความร้อนเช่นกัน มีความคิดเห็นเกี่ยวกับตัวแปรอะไรบ้างที่จำเป็นและสมการควบคุมที่จะแก้
คำตอบ
สมมติว่าแบล็กไบน์ทรงกลมสองตัวที่อุณหภูมิ $T_1$ และ $T_2$ ด้วยรัศมีคงที่ $r_1$ และ $r_2$และการนำความร้อนที่ไม่มีที่สิ้นสุด โดยเริ่มแรกวัตถุทั้งสองจะแผ่กระจายไปยังพื้นที่ว่างที่อุณหภูมิ$T_{\mathrm{inf}}=0\,\mathrm{K}$. สมมติว่าอยู่ในสภาวะคงที่การสร้างความร้อนที่สอดคล้องกันจะต้องเป็น$$Q_i=4\pi r_i^2\sigma T_i^4$$ (สอดคล้องกับการสร้างความร้อนเชิงปริมาตรของ $3\sigma T_i^4/r_i$) ที่ไหน $\sigma$ คือค่าคงที่ Stefan-Boltzmann
สมมติว่าวัตถุทั้งสองวางอยู่ในพื้นที่เดียวกันในระยะกึ่งกลางถึงกึ่งกลาง $d>>r$แต่ละวัตถุ $i$ ตอนนี้ได้รับฟลักซ์ขาเข้าเพิ่มเติมประมาณ $a_{ij}\sigma T_j^4$ จากมุมทึบของ $a_{ij}=A_j/4\pi d^2=r_j^2/4 d^2$, ที่ไหน $A_j$ คือพื้นที่หน้าตัดของวัตถุ $j$. สมดุลพลังงานใหม่จึงเกิดขึ้นในขณะนี้$$4\pi r_i^2\sigma T_i^{\prime 4}= 4\pi r_i^2\sigma T_i^4+ r_i^2r_j^2 \sigma T_j^{\prime 4}/d^2,$$
ที่อุณหภูมิสมดุลใหม่ $T_i^{\prime}$ และ $T_j^{\prime}$ สามารถพบได้ซ้ำ ๆ เช่น
กรณีของ $d$ เปรียบได้กับ $r$ต้องมีปัจจัยมุมมองที่ซับซ้อนมากขึ้นได้โดยทั่วไปจากตารางค่าหรือพอดีเชิงประจักษ์ตามที่กล่าวไว้ที่นี่