การคำนวณอินทิกรัล 2 ตัวแปร - สลับลำดับของการรวม
ฉันต้องคำนวณอินทิกรัลนี้:
$$\int_0^1 dy \int_{\sqrt{y}}^{1} e^{\frac{y}{x}} dx$$
เพราะเราไม่ได้เรียนรู้วิธีการคำนวณ $\int e^{a}{x} dx$ (เพราะมีบางอย่างที่มีฟังก์ชันแกมมาเป็นต้น) ทำให้ฉันคิดได้เพียงตัวเลือกเดียวและพลิกไฟล์ $dx \Leftrightarrow dy$
$\sqrt{y} = x \Rightarrow y = x^2$
และด้วยเหตุนี้ $$ \int_0^1 dx \int_{x^2}^1 e^{\frac{y}{x}}dy = \int_0^1 dx (\frac{1}{x}e^{\frac{1}{x}} - \frac{1}{x}e^x)$$
ซึ่งนำฉันไปสู่ฟังก์ชันแกมมานี้อีกครั้ง .. ($\Gamma$... ) และเราไม่รู้ว่าจะทำงานกับมันอย่างไร (ไม่ใช่ในหลักสูตรของเรา)
ความช่วยเหลือใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชม !! ขอบคุณ!
คำตอบ
คุณถูกต้องในการแลกเปลี่ยนลำดับการรวม
โปรดสังเกตว่าขอบเขตของการรวมครอบคลุมตั้งแต่ $\sqrt y\le x\le 1$ ด้วย $y\in [0,1]$. นี่คือภูมิภาคเดียวกับภูมิภาค$0\le y\le x^2$ ด้วย $x\in [0,1]$. ดังนั้นเรามี
$$\begin{align} \int_0^1\int_{\sqrt y}^1 e^{y/x}\,dx\,dy&=\int_0^1\int_0^{x^2} e^{y/x}\,dy\,dx\\\\ &=\int_0^1 \left(xe^x-x\right)\,dx \end{align}$$
ตอนนี้คุณสามารถสรุปสิ่งนี้ได้