การค้นหาการแปลงลาปลาซผกผันของ $\frac{s}{(s+1)^3}$ ใช้สูตรผกผัน
ฉันต้องการค้นหาการแปลงลาปลาซผกผันของ $$F(s) = \frac{s}{(s+1)^3}$$โดยใช้ Bromwich Integral บรอมวิชรูปร่างจะมีลักษณะบางอย่างเช่นนี้
จริงๆแล้วคุณสามารถเห็นปัญหานี้ได้จากลิงค์ต่อไปนี้: https://youtu.be/cXjbPsc-Z5w. ฉันอยากรู้ว่าทำไมเราต้องแสดงอินทิกรัลพร้อมด้วย$L_u$, $C_R$, $L_D$ คือ $0$เหรอ? ฉันหมายความว่าฉันเคยเห็นตัวอย่างมากมายในหนังสือบางเล่ม (เช่นวิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับนักฟิสิกส์, 3rd ed.) เพียงแค่ต้องแสดงสิ่งตกค้างที่เสาง่าย ๆ เพื่อแก้การผกผันของการแปลงลาปลาซ
ดังนั้นในกรณีนี้ควรเป็น:
$$\begin{align} \mathcal{L}\bigg\{\frac{s}{(s+1)^3}\bigg\} &= \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} \frac{se^{st}}{(s+1)^3} \Bbb ds \\ &= \mathrm{Res}_{s=-1} \left(\frac{se^{st}}{(s+1)^3}\right) \\ &= \frac 12 \lim_{s=-1} \frac{\Bbb d^2}{\Bbb ds^2} \left[(s+1)^3 \frac{se^{st}}{(s+1)^3}\right]\\ &= \frac 12 \lim_{s=-1} te^{st}(2+st)\\ &= te^{-t} \left(1-\frac t2\right) \end{align}$$
คุณช่วยอธิบายได้ไหมว่าทำไมเราจึงควรแสดงอินทิกรัลพร้อม $L_u$, $C_R$, $L_D$ คือ $0$ (ตามลิงค์ที่ระบุ) หากทฤษฎีการตกค้างเพียงพอที่จะประเมินอินทิกรัลเพื่อค้นหาการแปลงลาปลาซผกผันของ $F(s)$เหรอ?
หวังว่าคุณจะสามารถอธิบายให้ฉัน ฉันต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ แต่ยังคงสับสนเมื่อพูดถึงคำถามนี้ ขอบคุณมาก!
คำตอบ
ตกค้างทฤษฎีบทเป็นส่วนขยายของทฤษฎีบท Integral ของ Cauchy ทั้งสองทฤษฎีเริ่มต้นด้วยเส้นโค้งปิดที่แก้ไขได้ภายในโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่ายใน$\mathbb{C}$.
การแปลง Laplace ผกผันของ $F(s)$, $f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F\}(t)$แสดงโดย
$$f(t)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(s) e^{st}\,ds\tag1$$
ที่ไหน $c$ เป็นจำนวนจริงที่มากกว่าค่าเอกฐานทั้งหมดของ $F(s)$.
ในการใช้ทฤษฎีการตกค้างเราจะประเมินอินทิกรัลของ $F(s)e^{st}$เหนือเส้นโค้งแบบปิดและแก้ไขได้ ดังนั้นเราจึงเริ่มวิเคราะห์และเขียน
$$\begin{align} \oint_C F(s)e^{st}\,ds&=\oint_{L_R+L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st\,ds}\\\\ &=\int_{L_R}F(s)e^{st\,ds}+\int_{L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st\,ds}\tag2 \end{align}$$
จากคำถามเฉพาะของ OP เราถือว่าในที่นี้เป็นเอกพจน์เดียวของ $F(s)$เป็นเอกฐาน ถ้า$F(s)$ มีความเป็นเอกฐานของจุดสาขาจากนั้นเราจะปิดเส้นทางของบรอมวิชเพื่อไม่ให้จุดสาขาและการตัดกิ่งที่เกี่ยวข้องถูกแยกออกจากภายในรูปร่างปิด
สมมติว่าไฟล์ $N$ จำนวนเสาของ $F(s)$ อยู่ภายในรูปร่างปิด $C$ และแสดงตำแหน่งของไฟล์ $n$เสาโดย $s_n$, ที่ไหน $n=1,2\cdots N$. จากนั้นเราได้จากทฤษฎีบทตกค้าง
$$\oint_{C}F(s)e^{st}\,ds=2\pi i \sum_{n=1}^N \text{Res}\left(F(s)e^{st}, s=s_n\right)\tag3$$
นอกจากนี้ยังเป็น $R\to \infty$อินทิกรัลตัวแรกทางขวามือของ $(2)$ แนวทาง $2\pi i f(t)$ ตามที่แสดงใน $(1)$. ดังนั้นถ้าอินทิกรัลมากกว่า$L_u+C_R+L_d$ หายไปเป็น $R\to \infty$จากนั้นจึงเท่ากับ $(2)$ และ $(3)$เราพบว่า
$$f(t) = \sum_{n=1}^N \text{Res}\left(F(s), s=s_n\right)\tag4$$
หมายเหตุ:นิพจน์ใน$(4)$ ตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ว่า
$$\lim_{R\to \infty} \int_{L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st}\,ds=0\tag5$$
ถ้า $(5)$ ล้มเหลวที่จะถือแล้ว $(4)$ ล้มเหลวในการถือเช่นเดียวกัน