การค้นหา Orbit และ Stabilizer ของเส้นเฉพาะใน $\mathbb{R^2}$
ปล่อย $G=GL(2,\mathbb{R})$นั่นคือกลุ่มของเมทริกซ์จริง 2 คูณ 2 ที่ผันกลับได้ทั้งหมด
ปล่อย $G$ ดำเนินการกับประเด็นของ $\mathbb{R}^2$โดยการคูณเมทริกซ์ พิจารณาการกระทำของ$G$ บนเส้นตรงใน $\mathbb{R}^2$ ผ่านต้นกำเนิด
ถ้า $L$ คือเส้น $y=2x$, นั่นคือ, $L=\{(x,2x) :x \in \mathbb{R}\}$, ค้นหา $G(L)$ และ $G_L$.
ที่นี่ $G(L)$ คือวงโคจรและ $G_L$คือโคลง ฉันจะแสดงโดย$X$ ชุดของเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด
คำถามนี้ทำให้ฉันสับสนเพราะ:
- สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่ามีการอธิบายการกระทำสองครั้งและไม่สม่ำเสมอ
- ฉันยังใหม่กับการกระทำแบบกลุ่มแม้ว่าฉันคิดว่าฉันเข้าใจคำจำกัดความดีพอ
- ฉันไม่เคยเห็น $GL(2, \mathbb{R})$ ก่อนหน้านี้ แต่ฉันเข้าใจว่ามันไม่มีที่สิ้นสุด
- เครื่องมือที่ฉันมีคือ Cayley's Theorem และ Orbit Stabilizer Theorem อย่างไรก็ตาม$|G| \notin \mathbb{N}$. หลักฐานที่ฉันเห็นสำหรับ OST ดูเหมือนจะมีไว้สำหรับกรณีของเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุดอย่างไรก็ตามฉันไม่แน่ใจว่าจะ 'ทำงาน' กับคาร์ดินัลการคูณได้อย่างไรเมื่อทั้งคู่ไม่มีที่สิ้นสุดอย่างไม่แน่นอน ฉันคิดว่าฉันไม่จำเป็นต้องทำเช่นกันในกรณีนี้
- ฉันไม่ได้ลงมือทำจริงๆ! นอกจากนี้ฉันเข้าใจว่าวงโคจรและโคลงทั้งสองขึ้นอยู่กับการกระทำที่เฉพาะเจาะจง ไม่? ถ้าไม่ฉันยังไม่เห็นหลักฐานสำหรับมัน
นี่คือความพยายามของฉัน:
โดยสัญชาตญาณฉันเห็นว่าสิ่งที่ฉันต้องใส่ใจคือค่าคงที่ $c$ ใน $(x, cx)$. ดังนั้นเราจึงมี$|G|$ อคติที่ต้องใส่ใจ - ตั้งแต่ $G$ isomorphic ถึง $\Phi (G)$ ที่ไหน $\Phi$คือการกระทำ เอ๊ะ ... ฉันก็ไม่เชื่อเหมือนกัน เพราะไม่รู้ว่าออกฤทธิ์อย่างไรจึงไม่รู้ว่ามันฉีดเข้าไป$\implies$ฉันไม่รู้ว่ามันเป็นไอโซมอร์ฟิกของกลุ่มย่อยของ$S_X$.
สมมติว่ามีการดำเนินการมาตรฐานบางอย่างที่จะใช้นั่นคือการฉีดยา จากนั้นเพื่อค้นหา$G_L$ ฉันต้องการค้นหาอคติทั้งหมดในแผนที่นั้น $2$ กับตัวเองในชุดของอคติ $\Phi(G) \cong S_X$. ฉันไม่มีเงื่อนงำ ฉันรู้วิธีทำก็ต่อเมื่อฉันรู้อย่างชัดเจนว่าการกระทำคืออะไร ฉันคิดว่าชัดเจนว่าฉันขาดวิธีการพื้นฐานในการให้เหตุผลที่นี่ ฉันสามารถเขียนมันลงไปโดยใช้สัญกรณ์เพื่อความเข้าใจ แต่นั่นแทบจะไม่ได้คำตอบ ฉันคิดว่าคำถามกำลังขอชุดที่ชัดเจนกว่านี้
สำหรับ $G(L)$อีกครั้งฉันรู้ว่าจะทำอย่างไรถ้าฉันมีการกระทำจริง
ขอขอบคุณสำหรับเวลาของคุณ.
คำตอบ
ดังนั้นการกระทำของ $G$ อธิบายไว้ดังนี้: สำหรับ $A=\begin{pmatrix} a \ b\\c\ d\end{pmatrix} $ ใน $G$ และ $(x,y) \in\mathbb{R} ^2$ มันคือ $A(x,y)=(ax+by,cx+dy)$
ดังนั้นสำหรับวงโคจรของ $(x, 2x)$ มันคือ $\{(ax+2bx,cx+2dx)|\ ad-bc\not=0\}$
เอาไปจากที่นี่ได้ไหม