การค้นหาผลิตภัณฑ์ Tensor [ซ้ำ]

Jan 07 2021

ปล่อย $\Pi_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Z}:= M$

คือ $ M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \cong \Pi_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Q}$เหรอ? ฉันเชื่อว่านี่เป็นความจริง แต่ฉันไม่รู้ว่าจะพิสูจน์ได้อย่างไร

กรุณาช่วยฉันด้วยความคิด / คำใบ้

ขอบคุณล่วงหน้า.

คำตอบ

2 QiaochuYuan Jan 07 2021 at 01:38

มันเป็นเท็จ มีแผนที่ธรรมชาติ

$$\left( \prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Z} \right) \otimes \mathbb{Q} \to \prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Q}$$

ซึ่งเป็นแบบฉีด แต่ไม่คาดเดา ภาพของมันประกอบด้วยพื้นที่ย่อยของ$\prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Q}$ ประกอบด้วยลำดับที่ตัวส่วนมีขอบเขตหรือเทียบเท่าซึ่งสามารถใส่ไว้ใต้ตัวส่วนร่วมได้ (โดยพื้นฐานแล้วเนื่องจากการดึงโดย $\mathbb{Q}$ อนุญาตให้คุณหารลำดับจำนวนเต็มทั้งหมดด้วยตัวส่วนร่วมเท่านั้น) และไม่มีเช่นลำดับ $n \mapsto \frac{1}{n}$.

(ในทางกลับกันกลุ่มเหล่านี้เป็นไอโซมอร์ฟิกแบบนามธรรมเพราะมีช่องว่างเวกเตอร์ทั้งคู่ทับกัน $\mathbb{Q}$ของมิติต่อเนื่อง ดูคำตอบทางคณิตศาสตร์นี้ SEซึ่งบอกว่าโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกัน)

โดยทั่วไปผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ได้รับการรับประกันเพื่อเก็บรักษาผลิตภัณฑ์ที่ จำกัด เท่านั้น คุณสามารถแสดงให้เห็นว่าการดึงด้วยโมดูลจะรักษาผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดหากนำเสนออย่างประณีต (ซึ่ง$\mathbb{Q}$ไม่ใช่); ดูคำตอบนี้ math.SE